本文是 2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案 的小题的参考答案。

▌第九小题 ▌

9. 如果 $F\left[f\left(t\right)\right]=F\left(\omega \right)$，令$Z\left(\omega \right)=2F\left(\omega \right)U\left(\omega \right)$。$U\left(\omega \right)$是关于$\omega$的单位阶跃函数。试证明：$$z\left(t\right)=F^{-1}\left[Z\left(\omega \right)\right]=f\left(t\right)+\bar{f}\left(t\right)$$ 其中：$$\bar{f}\left(t\right)=\frac{j}{\pi }\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{f\left(\tau \right)}{t-\tau }d\tau \right]$$

▓ 求解：

根据傅里叶变换时域卷积定理可知：

$$z\left(t\right)=f\left(t\right)\ast \tilde{u}\left(t\right)$$

其中 $\tilde{u}\left(t\right)$ 与 $U\left(\omega \right)$ 是一对傅里叶变换。根据：
$$U\left(\omega \right)=u\left(\omega \right)=\{\begin{array}{c}1,\omega >0\\ 0,\omega <0\end{array}$$

利用傅里叶变换的对偶特性：

可以求出：
$$\tilde{u}\left(t\right)=\frac{-1}{\pi \cdot jt}+\delta \left(t\right)$$

因此：
$$f\left(t\right)\ast \tilde{u}\left(t\right)=f\left(t\right)\ast \left[\frac{-1}{\pi \cdot jt}+\delta \left(t\right)\right]$$$$=f\left(t\right)+\frac{j}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)\cdot \frac{1}{t-\theta }d\theta$$

原题得证□ 。

▓ MATLAB计算解析信号

具有直流分量和三个不同频率的正弦信号分量的合成信号的解析信号：$$2.5+\cos \left(2\pi \cdot 203\cdot t\right)+\sin \left(2\pi \cdot 721\cdot t\right)+\cos \left(2\pi \cdot 1001\cdot t\right)$$

>>x=1+cos(2*pi*(0:999)'/20).*exp(-0.004*(0:999)');
>>envelope(x)'

>>load('mtlb');'
>>envelope(mtlb,30,'peak')

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