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【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 a^nu(n) 的傅里叶变换 )

序列 数字 基本 信号处理 变换 傅里叶
2023-06-13 09:18:01 时间

文章目录

一、求 a^nu(n) 傅里叶变换

求

a^nu(n)

的傅里叶变换

SFT[a^nu(n)]

?

其中

|a| \leq 1

;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

2、求 a^nu(n) 的傅里叶变换推导过程

将

a^nu(n)

序列 , 直接带入到

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n e^{-j \omega n}

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}

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