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【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )

序列 数字 基本 信号处理 变换 傅里叶
2023-06-13 09:18:01 时间

文章目录

e^{j \omega_0 n}

傅里叶变换

一、求

e^{j \omega_0 n}

傅里叶变换

求

e^{j \omega_0 n}

的傅里叶变换

SFT[e^{j \omega_0 n}]

?

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

2、带入 傅里叶变换 公式

将

e^{j \omega_0 n}

序列函数 , 带入到 傅里叶变换 公式

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

中 ;

可以得到 :

SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j \omega_0 n} e^{-j \omega n}

根据指数运算法则 , 可以得到如下式子 :

SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } \ \ \ \ ①

在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 1 的傅里叶变换 ) 中 , 求

1

的傅里叶变换得到如下公式 :

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) \ \ \ \ ②

将 ② 带入到 ① 中 ,

SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )

其中

\widetilde{\delta} ( \omega )

序列如下 , 这是以

2\pi

为周期的单位脉冲序列 , 在

2\pi

整数倍的位置上值为

1

;

\widetilde{\delta} ( \omega )

可以写成如下式子 :

\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )
m

取值

(-\infty , +\infty)

;

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