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【数字信号处理】周期序列 ( 周期序列示例 2 | 模拟信号周期 | 数字信号周期 | 在 a 个模拟信号周期内采集 b 个数字信号采样 )

序列 示例 数字 采集 信号处理 周期 采样 模拟信号
2023-06-13 09:18:01 时间

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一、周期序列示例 2

给定周期序列 :

\widetilde x(n) = \sin( \cfrac{3 \pi n}{8})

有

2

个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 :

\sin

正弦函数 的周期是

2\pi

;

sin (\phi) = sin(\phi + 2k\pi)

代入到周期序列中 :

\widetilde x(n) = sin (\cfrac{3 \pi n}{8}) = sin(\cfrac{3 \pi n}{8} + 2k\pi)

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定满足

x(n) = x(n + N) \ \ \ -\infty < n < + \infty

条件 ;

代入到周期序列中 : 使用

n + N

替换

n

;

\widetilde x(n) = sin (\cfrac{3 \pi n}{8}) = sin(\cfrac{3 \pi n}{8} + 2k\pi)
\widetilde x(n) = sin (\cfrac{3 \pi }{8} (n + N)) = sin(\cfrac{3 \pi n}{8} + 2k\pi)

直接对比

\sin

函数中的参数 :

\cfrac{3 \pi }{8} (n + N) = \cfrac{3 \pi n}{8} + 2k\pi
\cfrac{3 \pi }{8}n + \cfrac{3 \pi }{8}N = \cfrac{3 \pi }{8}(n) + 2k \pi
\cfrac{3 \pi }{8}N = 2k \pi
N = \cfrac{16}{3}k

最小周期为

N= 16, k = 3

其含义是

3

个

\sin

模拟周期 内采集了

16

个样本 ;

3

个模拟周期 等于一个 数字周期 ;

计算

k

的值 :

数字角频率

\omega

( 单位 : 弧度 ) 与 模拟角频率

\Omega

( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

\omega = \Omega T

其中 ,

T

是采样周期 , 单位是 秒 ;

\omega = \cfrac{\pi }{4}

,

\Omega = 2\pi f_0

, 其中

f_0

是模拟频率 , 没有单位 ,

f_0 = \cfrac{T}{T_0}

, 其中

T_0

是模拟信号 周期 , 这里是

2\pi

;

将上述内容代入公式 :

\omega = \cfrac{3\pi}{8} = \Omega T = 2\pi \cfrac{T}{T_0}
\cfrac{3\pi}{8} = 2\pi \cfrac{T}{T_0}
16T = 3T_0

也就是说 在

3

个模拟型号

\sin

周期中 , 至少要采集

16

个数字样本 ;

下图的

\sin

函数中的

3

个周期内 , 采集了

16

个样本 ;

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