大学生数学竞赛非数专题一(7)
专题一 函数与极限 (7)
1.2.7 连续性与间断点
1.函数的连续性
1.1函数连续的定义:
在某邻域
有定义,假设
,则称
是连续的。同理左连续,假设函数
在
处有定义,有
,同理右连续,函数
在
处有定义,假设
,假设
在
连续,记作
,同理假设
在
处左连续,在
处右连续,则称
1.2 连续函数具有四则运算性质 1.3 复合函数的极限与连续性
定理1:假设
,函数
在
处连续 ,则有
定理2:初等函数在有定义的区间均是连续的 补充一下:闭区间连续函数的几个性质
定理1(有界定理):若
,则
,使得
定理2(最值定理):若
,则
的最小值以及最大值,使得
定理3(零点定理):若
,有
,则
,使得
1.24 (江苏省1998年竞赛题) 求
.
解:可知
所以原式
例1.25 (江苏省2005年竞赛题) 设函数
在区间
上有定义,在
处连续,且对于一切的实数
,均有
,求证:
在
上处处连续.
解 :取
,根据
,则有
得
,由于
在
连续的,
;任取
,取
,根据等式,取极限
例1.25 (北京市1992年竞赛题) 设函数
在
上有定义,且函数
与函数
在
上是单调递增的,求证:
在
上连续 。
解 :首先考虑右连续,任取
,当
,
是单调递增,故
,则
,同时
是单调递增,所以
,得
,令
,再取极限,根据夹逼准则,得
,故
是右连续的,同理可以证明其左连续,而
是任意性的,知
在
是连续的。
2.间断点的分类
若
在
处不连续,则称
是
的一个间断点。间断点分成两类:
(1)
与
均存在,称
是
的第一类间断点;若
,则称
是可去间断点,反之,
,即
是其跳跃间断点
(2)假设
和
至少一个不存在,则称
为
的第二类间断点
例1.26 (精选题) 设
有可去间断点
,求
的值
解:因为
是
的可去间断点,所以
或者
,(1)当
,由于
,所以不符合;(2)当
时,要
存在,则必须
,则有
,所以满足条件 .
题目比较基础,重要的是套路的判断,注意连续性题目的方法,综合极限反复定义,就可以得出结果;间断点的问题比较基础,还是传统方法,本质求极限。注意之前的方法。有问题欢迎留言!
作者:小熊
相关文章
- 北大占3成、00后超一半,2022阿里全球数学竞赛77位获奖者出炉
- 2022丘成桐数学竞赛放榜!清华3金10银霸榜
- date函数举例_初中数学基础知识整理
- 大学生数学竞赛非数专题一(2)
- 大学生数学竞赛非数专题一(3)
- 大学生数学竞赛非数专题二(3)
- 大学生数学竞赛非数专题二(5)
- 大学生数学竞赛非数专题二(7)
- 大学生数学竞赛非数专题四(1)
- 大学生数学竞赛非数专题四(3)
- 大学生数学竞赛非数专题四(4)
- 大学生数学竞赛非数专题四(5)
- 考研(大学)数学 微分方程(3)
- 数学建模竞赛的一些心得体会
- 数学基础从高一开始3、集合的基本运算
- 2023年(美赛)美国大学生数学建模竞赛ABCDEF题思路资料汇总【全网最全】
- 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程求解 | 递推方程标准型及通解 | 递推方程通解证明 )
- 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
- 参与的论文即将中顶会,但我发现了数学错误,到底该不该说?
- 【Latext】上标下标 ( 右侧上标下标 | 任意字符的正上标记 | 任意字符的正下标记 | 常用数学符号的上标和下标 | 加和 | 乘积 | 交集 | 并集 | 上积 | 极限 | 上弧 )
- java计算数学表达式详解编程语言
- 研究揭示大脑如何分析数学和语言等不同类型的语音任务
- js四舍五入数学函数round使用实例