专题二 一元微分学 (3)
2 求高阶导数
知识点:
(1)几个常用的高阶导数公式
(\sin x)^n=\sin(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2}),
(\cos x)^n=\cos(x+n\cdot \dfrac{\pi}{2}) (\dfrac{1}{x})^n=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}},
(\ln x)^{n+1}=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}(x^n)^{(k)}=\dfrac{n!}{(n-k)!}x^{k+1}(1\leq k\leq n),
(x^{n})^{(k)}(k>n)(2)参数式函数的二阶导数
(3)分段函数在分段点的二阶导数
(4)莱布尼茨公式:
假设函数
u,v均n阶可导,则
(uv)^{n}=u^{(n)}v+C_{n}^{1}u^{n-1}v^{'}+\dotsb+C_{n}^{n-1}u^{'}v^{n-1}+uv^{n}例2.10 (江苏省2016年数学竞赛题)
设函数
f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^{3}(x-4)^{4},试求
f^{''}(2)解:令
G(x)=(x-1)(x-3)^{3}(x-4)^{4},则
f(x)=(x-2)^2 G(x),应用莱布尼茨公式,得
f^{''}(x)=2 G(x)+4(x-2)G^{'}(x)+(x-2)^{2}G^{''}(x),带入
x=2,得
f^{''}(2)=2G(x)=2(2-1)(2-3)^{3}(2-4)^{4}=-32例2.11 (南京大学1995年竞赛题)
设
f^{'}(0)=1,f^{''}(0)=0,求证:在
x=0处,有
\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(x^2)=\frac{d^2}{dx^2}f^2(x)解:由于
f^{''}(0)=0存在,所以
f^{'}(x)在
x=0处可导,则
f^{'}(x)在
x=0处连续,令
G(x)=f(x^2),则
G^{'}(x)=2xf^{'}(x^2),
G^{'}(0)=0,则
\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(x^2)\bigg|_{x=0}=\frac{d}{dx}G^{'}(x)\bigg|_{x=0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{G^{'}(x)-G^{'}(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2xf^{'}(x)}{x}=2f^{'}(0)=0
同理令
F(x)=f^{2}(x),有
F^{2}(x)=2f^{'}(x)f(x),
F^{'}(0)=2f(0)f^{'}(0)=f(0),由导数定义知
\begin{align*}\displaystyle\frac{d^2}{dx}f^{2}(x)\bigg|_{x=0}&=\frac{d}{dx}F^{'}(x)\bigg|_{x=0}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{G^{'}(x)-G^{'}(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2f(x)f^{'}(x)-2f(0)}{x-0}\\&=2\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)f^{'}(x)-f(x)+f(x)-f(0)}{x}=2\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)(f^{'}(x)-f^{'}(0))}{x}+2\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}\\&=2f(0)f^{''}(0)+2f^{'}(0)=0+2=2\end{align*}
对比两个式子,可知得证。
例2.12 (江苏省1994年竞赛题)
设
f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sin x}{x},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}求
f^{''}(0)的值 $$
解:根据导数的定义知,
\begin{align*}\displaystyle f^{'}(0)&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x-x}{x^2}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x-1}{2x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{2x}=0\end{align*}
当
x\neq 0时,
\displaystyle f^{'}(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2},利用定义得
\begin{align*}\displaystyle f^{''}(0)&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^{'}(x)-f^{'}(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{3x^2}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{-x\sin x}{3x^2}\\&=-\frac{1}{3}\end{align*}
例2.13 (全国大学生2009年预赛题)
设
y=y(x)由方程
xe^{f(y)}=e^{y}\ln 29确定,其中
f具有二阶导数,且
f^{'}\neq 1,求
\dfrac{d^2 y}{dx^2}解:由等式知,显然
x > 0,对原等式两边同时取对数得
\ln x+f(y)=y+\ln\ln 29两边对
x求导数知:
\displaystyle\frac{1}{x}+f^{'}(y)y^{'}=y^{'} \qquad(1),对上式子(1)进行恒等变形,得:
\displaystyle y^{'}=\frac{1}{x(1-f^{'}(y))},对式子(1)再进行求导,
\displaystyle-\frac{1}{x^2}+f^{''}(y)(y^{'})^{2}+f^{'}(y)y^{''}=y^{''},根据上式可以解出
y^{''},解得
y^{''}的表达式为:
\begin{align*}\displaystyle y^{''}&=\dfrac{-\dfrac{1}{x^2}+f^{''}(y)(y^{'})^2}{1-f^{'}(y)}=\dfrac{-\dfrac{1}{x^2}+f^{''}(y)\dfrac{1}{x^2[(1-f^{'}(y))]^2}}{1-f^{'}(y)}\\&=\dfrac{f^{''}(y)-[1-f^{'}(y)]^2}{x^2[1-f^{'}(y)]^2}\end{align*}
例2.14 (江苏省2000年竞赛题)
设
y=y(x)由方程组
\begin{cases}x+t(1-t)=0 \\te^y+y+1=0 \end{cases}
确定,求
\dfrac{d^2 y}{d^2 x}\bigg|_{x=0}解:由方程组知
x=t^2-t,
x^{'}(t)=2t,
x^{''}(t)=2,所以知
x^{'}(0)=-1,
x^{''}(0)=2,
设由
te^{y}+y+1=0确定
y=y(t),可知
y(0)=-1对原式两边对
t进行求导,
e^{y}+te^{y}y^{'}(t)+y^{'}(t)=0 \qquad(1) ,令
t=0可知,
e^{-1}+y^{'}(0)=0,知
y^{'}(0)=-\dfrac{1}{e},再对式子(1)进行求导,
2e^{y}y^{'}(t)+te^{y}(y^{'}(t))^2+te^{y}y^{''}(t)+y^{''}(t)=0再令
t=0,可得
2e^{-1}y^{'}(0)+y^{''}(0)=0,解得,
y^{''}(0)=-\dfrac{2}{e^2},根据参数方程二阶导数公式得:
\begin{align*}\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=0}&=\dfrac{x^{'}(0)y^{''}(0)-y^{'}(0)x^{''}(0)}{(x^{'}(0))^2}\\&=\frac{-\dfrac{2}{e^2}+\dfrac{2}{e}}{-1}=\dfrac{2}{e^2}-\dfrac{2}{e}\end{align*}
例2.15 (江苏省1991年竞赛题)
设
P(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}(1-x^m)^n,其中
m,n均是正整数,求
P(1)的值
解:由于多项式展开,
(1-x^m)^n=(1-x)^n(1+x+x^2+\dotsb+x^{m-1})^n,可以令
g(x)=(1-x)^n,
h(x)=(1+x+x^2+\dotsb+x^{m-1})^n,由莱布尼茨公式知,
g(1)=g^{'}(1)=\dotsb=g^{n-1}=0,
g^{n}(1)=(-1)^n n!,所以
P(1)=h^{n}(1)g(1)+nh^{n-1}(1)g^{'}(1)+\dotsb+h(1)g^{n}(1)=(-1)^n m^n n!
例2.16 (江苏省1994年竞赛题)
设
\displaystyle f(x)=(x^2-3x+2)^{n}\cos \frac{\pi x^2}{16},求
f^{(n)}(2)解:由于
(x^2-3x+2)^n=(x-1)^n(x-2)^n,令
u(x)=(x-2)^n,
v(x)=(x-1)^n\cos \dfrac{\pi x^2}{16},可知
u(2)=u^{'}(2)=\dotsb=u^{(n-1)}(0)=0,而
u^{(n)}(2)=n!,由莱布尼茨公式得:
\begin{align*}\displaystyle f^{(n)}(2)&=v(2)u^{(n)}(2)+nv^{'}(2)u^{(n-1)}(2)+\dotsb+v^{(n)}(2)u(2)\\&=v(2)u^{(n)}(2)=n!\cos \dfrac{4\pi}{16}=\dfrac{\sqrt{2}n!}{2}\end{align*}
例2.17 (广东省1991年竞赛题)
设
f(x)=\dfrac{x^n}{x^2-1}(n=1,2,\dotsb),求
f^{(n)}(x)解:根据多项式的除法,知
f(x)=\begin{cases}\displaystyle x^{n-2}+x^{n-1}+\dotsb+x+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}),n\text{为奇数} \\\displaystyle x^{n-2}+x^{n-1}+\dotsb+x^2+1+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}),n\text{为偶数}\end{cases}
由前面知:
(x^{k})^{(n)}=0(k < n),
(\dfrac{1}{x-1})^{(n)}=(-1)^{n}\dfrac{n!}{(x-1)^{n+1}},
(\dfrac{1}{x+1})^{(n)}=(-1)^{n}\dfrac{n!}{(x+1)^{n+1}},所以
\displaystyle f^{n}(x)=\frac{n!}{2}\left[\frac{(-1)^n}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right],
n=1,2,3,\dotsb例2.18 (浙江省2001年竞赛题)
设
f(x)=\arctan\dfrac{1-x}{1+x},求
f^{(n)}(0)解:对
f(x)求一阶导。得
\displaystyle f^{'}(x)=\dfrac{1}{1+(\dfrac{1-x}{1+x})^2},
\displaystyle(\frac{1-x}{1+x})^{'}=-\frac{1}{1+x^2},变形得
(1+x^2)f^{'}(x)=-1,等式两边对
x求
n-1阶导,根据莱布尼茨公式得
(1+x^2)f(^{(n)}x)+C_{n-1}^{1}2xf^{(n-1)}(x)+C_{n-1}^{2}2f^{(n-2)}(x)=0
令
x=0,得
f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0),前面知
f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^2},
f^{''}(x)=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2},所以
f^{'}(0)=-1,f^{''}(0)=0,所以当
n为偶数时,
f^{(n)}(0)=0;当
n为奇数时,
\displaystyle f^{(n)}(0)=(-1)(n-1)(n-2)f^{'}(0)=(-1)^{\frac{n+1}{2}}(n-1)!今天的题目就到这里了,主要就是莱布尼茨公式的应用,注意两个函数的设法,一般利用函数点的值以及高阶导数区分;另外一个就是常见导数的公式,还有一个求参数方程的二阶导数公式,其他的二阶导数看是否连续,按照导数的定义做可以了。有问题留言!
作者:小熊