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大学生数学竞赛非数专题二（7）

数学 竞赛 专题 大学生 非数
2023-06-13 09:13:17 时间

专题二 一元微分学 （7）

2.2.7 导数在几何上的应用

1单调性 2极值 3最值 4凹凸性、拐点 5作函数图像 6渐近线：水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线

2.34 （江苏省2012年竞赛题） 求一个次数最低的多项式

P(x)

，使得它在

x=1

时取极大值

2

，且

(0,2)

是曲线

y=P(x)

的拐点。

解：设

P^{''}(x)=a(x-2)

,积分一次可得

P^{'}(x)=a(\dfrac{x^2}{2}-2x)+b

，再积分一次，得

P(x)=a(\dfrac{x^3}{6}-x^2)+bx+c

；根据题意知

P^{'}(1)=-\dfrac{3}{2}a+b=0

，

P(1)=-\dfrac{5a}{6}+b+c=2

，

P(2)=-\dfrac{8a}{3}+2b+c=0

，解得

a=6,b=9,c=-2

；所以多项式为

P(x)=x^3-6x^2+9x-2

2.35 （江苏省1996年竞赛题） 设

y=f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[x]{x},&x >0\\ x,&x = 0\\ \end{array} \right.

试讨论

f(x)

的连续性，并求单调区间、极值与渐近线。

解：首先

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{x}=-\infty

，可以得

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\sqrt[x]{x}=\exp(\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{x})=0

而

f(0)=0

，所以

f(x)

在

x=0

处右连续，当

x>0

时，

f(x)

是初等函数，

所以

f(x)

在定义区间是连续的；而当

x>0

时，

\displaystyle f(x)=\sqrt[x]{x}(\frac{\ln x}{x})^{’}=\sqrt[x]{x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}

，令

f^{‘}(x)=0

,解得

x=e

，显然当

0< x < e

时，

f^{'}(x) > 0

；当

x > e

时，

f^{'}(x) < 0

；

所以

f(x)

在

(0,e)

上单调递增，在

(e,+\infty)

上单调递减；根据单调性，

f(x)

的最大值（极大值）为

f(e)=e^{\frac{1}{e}}

，没有极小值；而

\displaystyle\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\exp(\frac{\ln x}{x})=\exp(\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{\frac{1}{x}}{1})=1

所以

f(x)

有水平渐近线

y=1

。

2.36 （浙江省2009年竞赛题） 设函数

f(x)

满足

f^{''}(x)>0

，且

\int_{0}^{1}f(x)dx=0

。证明：

\forall x\in[0,1]

，

|f(x)|\leq \max\{f(0),f(1)\}

。

解：记

\max\{f(0),f(1)\}=d

.根据

f^{''}(x)>0

，可知函数是凹的，

所以对于

\forall x\in[0,1]

内，有

f(x)=f(1-x)\cdot 0+x\cdot 1\leq(1-x)f(0)+xf(1)\\\leq d(1-x)+dx=d \qquad (1)

取

\forall x_{0}\in(0,1)

内，考虑连接点

(0,f(0)),(1,f(1))

的折线，有

g(x)=f(0)+\dfrac{f(x_{0})-f(0)}{x_{0}-0}(x-0) \qquad x\in[0,x_{0})
g(x)=f(x_{0})+\dfrac{f(1)-f(x_{0})}{1-x_{0}}(x-x_{0}) \qquad x\in(x_{0},1)

根据

f(x)

是凹函数，可知

f(x)\leq g(x)

，所以有

\begin{align*}0=\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\int_{0}^{1}g(x)dx&=\frac{1}{2}(f(0)+f(x_{0}))x_{0}+\frac{1}{2}(f(x_{0})+f(1))(1-x_{0})\\&=\frac{1}{2}f(x_{0})+\frac{1}{2}(f(0)x_{0}+f(1)(1-x_{0}))\end{align*}

即

-f(x_{0})\leq f(0)x_{0}+f(1)(1-x_{0})\leq dx_{0}+d(1-x_{0})=d \qquad(2)

，

所以，根据

(1)

和

(2)

知，

\forall x\in[0,1]

，有

|f(x)|\leq d

，即

|f(x)|\leq \max\{f(0),f(1)\}

。

好了，今天的题目就到这里了，三个题目都很有趣，注意单调性以及凹凸性的应用，以及渐近线的应用。有问题欢迎留言。

作者：小熊

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