专题三 一元积分学 （2）
3.2 求不定积分
基本方法：（1）换元积分法 （2）分部积分法
积分类型：无理函数积分、三角函数积分
3.5 （北京市1995年竞赛题）
设
y是由方程
y^3(x+y)=x^3所确定的隐函数，求
\displaystyle \int\frac{1}{y^3}dx解：利用换元，令
x=ty，带入原式有，
y^4(t+1)=t^3y^3，整理得，
y=\dfrac{t^3}{1+t}，
x=\dfrac{t^4}{1+t}，所以
\begin{align*}\displaystyle\int\frac{1}{y^3}dx & =\int\frac{(1+t)^3}{t^9}\cdot\frac{t^3(3t+4)}{(1+t)^2}dt\\&=\int(\frac{3}{t^4}+\frac{7}{t^5}+\frac{4}{t^6})dt=-(\frac{1}{t^3}+\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{t^4}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{t^5})+C\\&=-((\frac{y}{x})^3+\frac{7}{4}(\frac{y}{x})^5+\frac{4}{5}(\frac{y}{x})^5)+C\end{align*}
3.6 （江苏省2000年竞赛题）
求
\displaystyle \int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx.
解：换元，令
x^2=t，有
\begin{align*}\displaystyle \int\frac{x(x^4-1)}{x^8+1}dx&=\frac{1}{2}\int\frac{t^2-1}{t^4+1}dt=\frac{1}{2}\int\frac{1-\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}}dt\\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{(t+\frac{1}{t})^2-2}d(t+\frac{1}{t})\\&=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{\sqrt{2}-(t+\frac{1}{t})}{\sqrt{2}+(t+\frac{1}{t}))}|+C\\&=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{\sqrt{2}x^2-x^4-1}{\sqrt{2}x^2+x^4+1}|+C\end{align*}
3.7 （全国大学生2013年决赛题）
计算不定积分
\displaystyle \int x\arctan x\ln(1+x^2)dx.
解：根据分部积分的规则，令
x\ln(1+x^2)dx=dv，则
\begin{align*}\displaystyle v&=\int x\ln(1+x^2)dx=\frac{1}{2}\int \ln(1+x^2)d(1+x^2)\\&=\frac{1}{2}(1+x^2)\ln(1+x^2)-\int\frac{1+x^2}{1+x^2}d(x^2)\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2]+C\end{align*}
再直接分部积分公式有
\begin{align*}\displaystyle\int x\arctan x\ln(1+x^2)dx&=\int\arctan xd(\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2])\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2]\arctan x-\frac{1}{2}\int(\ln(1+x^2)-\frac{x^2}{1+x^2})dx\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2]\arctan x-\frac{1}{2}[x\ln(1+x^2)-3x+3\arctan x]+C\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x-3]\arctan x-\frac{1}{2}[x\ln(1+x^2)-3x]+C\end{align*}
3.8 （江苏省2002年竞赛题）
求
\displaystyle \int \arcsin x\arccos xdx.
解：直接将
\arcsin x\arccos x看成整体
u，则
\begin{align*}\displaystyle\int \arcsin x\arccos xdx &=x\arcsin x\arccos x-\int x\cdot(\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}})dx\\&=x\arcsin x\arccos x+\int(\arcsin x-\arccos x)d(\sqrt{1-x^2})\\&=x\arcsin x\arccos x+(\arcsin x-\arccos x)\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})dx\\&=x\arcsin x\cdot\arccos x+(\arccos x-\arcsin x)\sqrt{1-x^2}+2x+C\end{align*}
今天的题目就到这里了，主要就是积分基本方法的应用，注意常见函数的不定积分，其次注意分部积分的基本规则，反复凑微分，换元，将复杂的积分简单化，一步一步求解，求出结果，加以简化。有问题留言。
作者：小熊
