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每日一练4.22

每日 一练 4.22
2023-06-13 09:13:11 时间

今天灰灰哥给大家更新的是关于函数极值以及不等式的证明问题。现在忙毕业设计，没有时间去学习软件的使用了，这几天就不贴图了。

我更新了三道题，分别是两个不等式证明加上一个函数的极值，第一题是利用函数的导数判断函数的极值，用到的是多次求导，一般一次看不出来单调性的话，就利用多次求导，然后找驻点，再进行式子的判别。后面找到单调性后，再利用极值直接证明不等式即可。第二个是关于不等式的证明，先开始还是进行求导，后面得到的驻点，再进行极值的计算，利用极限得出结果。第三题综合考虑极值的第二判别法，先求导得到一阶导数的零点也就是函数的驻点，再利用二阶导数的判别法进行判别得到函数的极值，带入求得结果就可以了。

最后，希望大家好好体会，灰灰的水平有限，有问题或者好的点子都可以联系灰灰！喜欢的点个在看，或者帮忙进行转发也可以！

附上数学代码

$$
\text{接力题典\ }1800
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$$
54.\text{证明：当}x>0\text{时，}x^2>\left( 1+x \right) \ln ^2\left( 1+x \right) .
$$
$$
\text{解：令}G\left( x \right) =x^5-\left( 1+x \right) \ln ^2\left( 1+x \right) \text{，}G^’\left( x \right) =2x-\ln ^2\left( 1+x \right) -2\ln \left( 1+x \right) \text{，}
$$
$$
G^{’’}\left( x \right) =2-\frac{2\ln \left( 1+x \right)}{1+x}-\frac{2}{1+x}=2\frac{x-\ln \left( 1+x \right)}{1+x}=0,\text{得}x=0\text{。}
$$
$$
\text{当}x>0\text{时，}G^{’’}\left( x \right) >0\text{，即}G^{’’}\left( x \right) \text{在}\in \left( 0,+\infty \right) \text{上单调递增，}G^’\left( x \right) =0,x=0,
$$
$$
\text{即}G\left( x \right) \text{在}\left( 0,+\infty \right) \text{上单调递增，}G\left( 0 \right) =0\text{，故得证。}
$$
$$
\text{解题思路：首先对于不等式想到构造函数，然后用单调性进行证明，但是一次求导不能看出}
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$$
\text{其单调性，故再进行二次求导，令二阶导数为零，然后可以看出其单调性，再用一阶导，依次进行}
$$
$$
\text{剥离，最后看出原函数的单调性。}
$$
$$
55.\text{证明：当}x>0\text{时，}arc\tan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}.
$$
$$
\text{解：令}f\left( x \right) =\arctan x+\frac{1}{x},f^’\left( x \right) =\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{\left( 1+x^2 \right) x^2}<0,
$$
$$
f\left( x \right) \text{在}\left( 0,+\infty \right) \text{单调递减，所以}f\left( x \right) _{\min}=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}f\left( x \right) =\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\arctan x+\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}.
$$
$$
\text{故得证}.
$$
$$
56.\text{求}y=\int_0^x{\left( 1-t \right)}\arctan tdt\text{的极值}.
$$
$$
\text{解：}y^’=\arctan x-x\arctan x,y^’=0\text{得}x=0\text{或者}x=1,
$$
$$
y^{’’}=\frac{1}{1+x^2}-\arctan x-\frac{x}{1+x^2},y^{’’}\left( 0 \right) =1>0,y^{’’}\left( 1 \right) =-\frac{\pi}{4}<0,
$$
$$
\text{所以}x=0\text{是极小值点，}x=1\text{是极大值点。极大值}y\left( 1 \right) =\int_0^1{\left( 1-t \right) \arctan tdt}
$$
$$
=\int_0^1{\arctan tdt-}\int_0^1{t\arctan tdt=t\arctan t|_{0}^{1}}-\int_0^1{\frac{t}{1+t^2}}dt-\frac{t^2}{2}\arctan t|_{0}^{1}+\frac{1}{2}\int_0^1{\frac{t^2}{1+t^2}}dt
$$
$$
=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}-\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\left( 1-\ln 2 \right) 
$$
$$
\text{解题思路：首先根据极值先找到一阶导数为零的点，即驻点，然后用极值的第二判别法进行判别}
$$
$$
\text{，即可以得出最大最小值的结果。}
$$
$$

$$

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