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考研竞赛每日一练 day 11 一道微分方程加上幂级数拆分以及应用的综合题

应用 以及 11 每日 竞赛 拆分 Day 一道
2023-06-13 09:13:16 时间

一道微分方程加上幂级数拆分以及应用的综合题

设

F(x)

是

f(x)

的一个原函数，且

F(0)=1

，

F(x)f(x)=\cos 2x

，

a_{n}=\displaystyle \int_{0}^{n\pi}|f(x)|dx(n=1,2,\dotsb)

。 （1）求

a_{n}

；（2）求幂级数

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n^2-1}x^n

的收敛域与和函数

【分析】：（1）由原函数与函数的关系，将原等式关系可以变成函数的微分方程，后面利用三角函数的周期性可以解出；（2）收敛域根据定义求，和函数采用裂项拆分成两个幂级数的和，再利用马克劳林公式求和即可。

【解析】：（1）由题意知，

F^{'}(x)=f(x)

，所以

F(x)f(x)=[\dfrac{1}{2}F^2(x)]^{'}

，带入有

[\dfrac{1}{2}F^2(x)]^{'}=\cos 2x

，解得

F^{2}(x)=\sin 2x +C

，再由

F(0)=1

，得出

C=1

，所以

f(x)=F^{'}(x)=\dfrac{\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x+1}}=\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{|\cos x+\sin x|}

，根据积分有

\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{n\pi}|f(x)|dx=\int_{0}^{n\pi}|\cos x-\sin x|dx=n\int_{0}^{\pi}|\cos x-\sin x|dx=2\sqrt{2}n

（2）由（1）知，则幂级数为

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n^2-1}x^n=2\sqrt{2}\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{n^2-1}x^n

，由收敛半径有

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{n+1}{(n+1)^2-1}}{\dfrac{n}{n^2-1}}=1

，当

x=1

时，原级数为

\displaystyle 2\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{n^2-1}=\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}(\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n+1})

，发散，而当

x=-1

时，原级数为

\displaystyle 2\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\dfrac{n}{n^2-1}=\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n(\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n+1})

为交错级数，由莱布尼茨可知，原级收敛；记和函数为

S(x)
\begin{align*}\displaystyle S(x)&=2\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{n^2-1}x^n=\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}[\frac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n+1}]x^n\\&=\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n-1}x^n+\sqrt{2}\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}x^n=\sqrt{2}x\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n-1}x^{n-1}+\dfrac{\sqrt{2}}{x}\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\\&=-\sqrt{2}\left(\dfrac{1+x^2}{x}\ln(1-x)+1+\dfrac{x}{2}\right)\end{align*}

而

S(0)=0

，所以得和函数为

S(x)=\begin{cases} \sqrt{2}\left(\dfrac{1+x^2}{x}\ln(1-x)+1+\dfrac{x} {2}\right) &,-1\le x < 1,\text{且}x \ne 0 \\0 &,x=0\end{cases}

作者：小熊

写作日期：10.11

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