每日一练4.24

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\text{接力题典\ }1800
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\text{基础篇\ 60\\ 证明\ ：当}0<x.<1\text{时，证明}e^{-2x}>\frac{1-x}{1+x}.
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\text{解：对原不等式进行等价拆分，取对数的话即可以得出要证明的式子，也就是}
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-2x>\ln \left( 1-x \right) -\ln \left( 1+x \right) ,\text{构造函数}G\left( x \right) =-2x-\ln \left( 1-x \right) +\ln \left( 1+x \right) ,
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\text{对函数进行求导，注意}G\left( 0 \right) =0,\text{且}G^’\left( x \right) =-2+\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x},\text{则可以得到}
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G^‘\left( x \right) =0,\text{得到}x=0\text{，且有}x\in \left( 0,+\infty \right) \text{时，}G^‘\left( x \right) >0,\text{即函数是增函数。}
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G\left( x \right) _{\min}=G\left( 0 \right) =0,G\left( x \right) >0\text{是恒成立的。}
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\text{解题思路；首先根据函数进行代换计算，一般就是函数取对数进行运算，这是一个十分有用的}
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\text{技巧，将不好算的分式转转化成对数的加减进行运算，后面就是函数的极值问题，根据求导}
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\text{然后看驻点就可以得出结果。}
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61\ \text{当}0<x<\frac{\pi}{2}\text{时，证明：}\frac{\pi}{2}x<\sin x<x.
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\text{解：}G\left( x \right) =\frac{\pi}{2}x-\sin x,f\left( x \right) =\sin x-x,\text{分别对两个函数进行求导，则可以得到，}G^’\left( x \right) =\frac{\pi}{2}-\cos x
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\text{而}f\left( x \right) =\cos x-1\text{，显然}f^”\left( x \right) <0,G^’\left( x \right) >0\text{，则可以得到}G\left( x \right) \text{是单调递增函数，而}f\left( x \right) \text{是单减函数，}
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\text{则可以得到}G\left( x \right) _{\text{民}}=G\left( 0 \right) =0\text{，同理}f\left( x \right) _{\max}=f\left( 0 \right) =0\text{，既可以得证。}
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\text{解题思路；首先根据不等式进行证明得话，先进行函数的转化，首先转换成两个函数，后面就是函数的极值}
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\text{的问题，先对函数进行求导，根据函数的有界性以及函数的的零点位置进行函数的大小划分。最后根据极值来}
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\text{判断函数的最值，既可以得出不等关系，即证明不等式。}
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62\ \text{求函数}f\left( x \right) =\int_0^1{|x-t|dt\text{在}\left[ 0,1 \right] \text{上最大值以及最小值}.}
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\text{解：首先对}f\left( x \right) \text{进行化简，}f\left( x \right) =\int_0^{\text{x}}{\left( \text{x}-\text{t} \right) |\text{dt}+\int_{\text{x}}^1{\left( \text{t}-\text{x} \right) \text{dt}}}=\text{x}^2-\frac{\text{x}^2}{2}+\frac{1-\text{x}^2}{2}-\text{x}\left( 1-\text{x} \right) =\text{x}^2-\text{x}+\frac{1}{2}\text{，}
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\text{f}^{\text{’}}\left( \text{x} \right) =2\text{x}-1,\text{则函数的驻点为x}=\frac{1}{2}\text{，则可以f}\left( \text{x} \right) \text{在}\left( 0,\frac{1}{2} \right) \text{上单调递减，在}\left( \frac{1}{2},1 \right) \text{上单调递增，f}\left( \text{x} \right) _{\min}=\text{f}\left( \frac{1}{2} \right) 
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=\left( \frac{1}{2} \right) ^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4},\text{f}\left( \text{x} \right) _{\min}=\text{f}\left( 0 \right) =\text{f}\left( 1 \right) =0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
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\text{解题思路：首先对函数及逆行分段函数划分，首先找到分段的位置也就是函数的x与t的大小关系，然后进行函数的化简，后面函数}
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\text{进行整理就可以得出函数的表达式，再对函数求导，找到驻点，后面进行函数的单调性，得到函数的最大最小值。}
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