接力题典 1800 级数
第一节 常数项级数的基本性质与收敛性判断
1.级数收敛的定义；
2.级数收敛的必要条件；
3.级数收敛的基本性质，加括号提高其收敛性，加绝对值增加其发散性。
11.判断级数
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\ln(\frac{n+1}{n}))的敛散性。
解；根据\ln(1+x)0时，所以\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}
，所以原级数是正项级数，根据
\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}，即
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2},
而
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}收敛，根据正向级数比较审敛法，所以原级数收敛。
12.判断
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin \pi\sqrt{n^2+1}的敛散性，收敛的话是据对收敛还是条件收敛？
解：由于
\sin\pi\sqrt{n^2+1}=\sin[n\pi+\pi(\sqrt{n^2+1}-n)]=(-1)^n\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}，
而
\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}>0，所以原级数是交错级数；
由
\{\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\}显然单调递减且
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}=0，所以
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\sqrt{n^2+1}收敛，由于
\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}~\frac{\pi}{2n}，而
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi}{2n}发散，所以级数
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin \pi\sqrt{n^2+1}条件收敛。
34.判断级数
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})的敛散性。
解：根据
\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\\=c
而
S_{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}})+(\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}})+\dotsb+\\(\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})=-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}
此时有
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}S_{n}=-\frac{1}{\sqrt{2}+1}，根据级数的收敛的定义知原级数收敛。
好了，今天的题目就到这里了，主要时利用常见的方法证明级数的收敛性，
希望大家好好体会！
写作日期：6.13
作者：小熊
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