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考研竞赛每日一练day 1 一道求函数的表达式的极限题目

每日 表达式 极限 竞赛 题目 Day 一道 考研
2023-06-13 09:13:16 时间

一道求函数的表达式的极限题目

求函数

f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}

的表达式

【解析】：本题实质考察极限的问题，由于

x

的范围是不确定的，故先对

x

分类；

当

0 \leq |x|\leq 1

时，

f(x)=1

，当

x=1

时，

f(1)=1

当

x=-1

时，

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n]{1+(-1)^{2n}+(\frac{1}{2})^{2n}}=1

，而

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n+1]{1+(-1)^{2n+1}+(\frac{1}{2})^{2n+1}}=\frac{1}{2}

，即

f(x)

在

x=1

无定义。

当

1 < x < 2

时，

f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x\sqrt[n]{\frac{1}{x}+1+(\frac{x}{2})^n}=x

，

当

x=2

时，

f(2)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{1+2\cdot2^n}=x

当

|x| > 2

时，

f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{x^2}{2}\sqrt[n]{(\frac{2}{x^2})^n+\frac{2}{x}^n+1}=\frac{x^2}{2}

当

-2 < x < -1

时，同理

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n]{1+x^{2n}+(\frac{x^2}{2})^{2n}}=-x\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n]{(\frac{2}{x^2})+1+(\frac{x}{2})^{2n}}=-x

而

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n+1]{1+x^{2n+1}+(\frac{x^2}{2})^{2n+1}}=x\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n+1]{(\frac{1}{x^{2n+1}})+1+(\frac{x}{2})^{2n+1}}=x

即

-2 < x < -1

，

f(x)

无定义。

当

x=-2

时，同理

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n]{1+(-2)^{2n}+2^{2n}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n]{\frac{1}{2n}+2}=2

，而

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[2n+1]{1+(-2)^{2n+1}+2^{2n+1}}=1

，即

x=-2

时，

f(x)

无定义。

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