《计算机视觉：模型、学习和推理》——3.7　多元正态分布

本节书摘来自华章计算机《计算机视觉：模型、学习和推理》一书中的第3章，第3.7节,作者：（英）普林斯（Prince，J. D.）著， 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

3.7 多元正态分布

图3-7 多元正态分布建立一个由D维变量x=［x1,…,xD］T决定的模型，其中x的每个元素x1,…,xD都是连续的且为任意实数。该分布由D×1维均值向量μ和D×D维协方差矩阵Σ定义，μ决定分布的均值，协方差矩阵Σ决定分布的形状。分布的等值线图是椭圆，椭圆的中心由μ决定，形状由Σ决定。

该图描述了一个二元分布，其中协方差通过绘制其中一个椭圆描述多元正态分布或多元高斯分布是一个由D维变量x决定的模型，其中x的每个元素x1,…,xD都是连续的且为任意实数（见图3-7）。同样，一元正态分布就是仅有一个变量的多元正态分布的特殊情况。在计算机视觉处理中，计算机会将图像一个区域内的D个像素的亮度联合起来建立正态分布模型。全局的状态也可以由多元正态分布描述。例如，某个物体的三维坐标（x,y,z）的联合概率就可用多元正态分布来表示。
多元正态分布有两个参数：均值μ，协方差Σ。μ是D×1向量，它描述分布的均值。协方差Σ是对称的D×D维正定矩阵，这样使任意的实向量z满足zTΣz恒为正。其概率密度函数为：

在本书中，多元正态分布将经常使用，整个第5章用于阐述其性质。

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