引言

上一节介绍了线性分类中概率判别模型的经典方法——逻辑回归(Logistic Regression)，本节将介绍线性分类中概率生成模型的经典方法——高斯判别分析(Gaussian Discriminant Aanlysis)。

回顾：软分类思想

从软分类角度观察线性分类：以二分类为例，假设样本数据以及样本标签分布表示如下：
X = ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , ⋯   , x ( N ) ) N × p T Y = ( y ( 1 ) , y ( 2 ) , ⋯   , y ( N ) ) N × 1 T y ( i ) ∈ { 0 , 1 } \mathcal X = (x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(N)})^{T}_{N \times p} \\ \mathcal Y = (y^{(1)},y^{(2)},\cdots,y^{(N)})^{T}_{N \times 1} \\ y^{(i)} \in \{0,1\} X=(x(1),x(2),⋯,x(N))N×pT​Y=(y(1),y(2),⋯,y(N))N×1T​y(i)∈{0,1}

软分类的朴素思想 是：给定样本$\mathcal{X}$条件下，判别后验概率$P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})$之间的大小关系。即：
$$P({\mathcal{Y}}_{pred}=0\mid \mathcal{X})\stackrel{\text{?}}{=}P({\mathcal{Y}}_{pred}=1\mid \mathcal{X})$$
已知一个样本$x^{(i)}$，通过某种方法得到了$P(y_{pred}^{(i)}=0\mid x^{(i)})$和$P(y_{pred}^{(i)}=1\mid x^{(i)})$之间大小关系：
$$P(y_{pred}^{(i)}=0\mid x^{(i)})>P(y_{pred}^{(i)}=1\mid x^{(i)})$$
我们将基于样本$x^{(i)}$的预测标签结果$y_{pred}^{(i)}$判别为$0$，反之同理。
基于上述思想，为了得到各后验概率间的大小关系，具体分为两种方法：概率判别模型、概率生成模型。

概率判别模型

概率判别模型的 朴素思想 是：既然要比较各后验概率间大小关系，那么干脆直接将各后验概率具体值求出来，然后直接比较即可。最典型的操作是逻辑回归(Logistic Regression)。
逻辑回归求解后验概率$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})$的方法是 利用模型进行求解。基于二分类的逻辑回归模型表示如下：
偏置项$b$省略，融合进‘权重信息’$\mathcal{W}$中。
$$P(y_{pred}^{(i)}\mid x^{(i)})=sigmoid({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)})=\frac{1}{1+e^{-}{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}$$
对应两种后验概率表示如下：
$$\{\begin{array}{l}P(y_{pred}^{(i)}=1\mid x^{(i)})=\frac{1}{1+e^{-}{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\\ P(y_{pred}^{(i)}=0\mid x^{(i)})=1-\frac{1}{1+e^{-}{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}=\frac{e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}\end{array}$$

最终对后验概率$P(y_{pred}^{(i)}\mid x^{(i)})$进行极大似然估计，等价于最小化交叉熵方法，最终求解最优模型参数$\mathcal{W}$。
要重点关注的是：最终求解的参数是模型参数。

概率生成模型

概率生成模型的 朴素思想 是：相比于概率判别模型直接求解$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})$，由于最终目标是判断后验概率的大小关系，因此不需要将$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})$求解出来也能够判别出大小关系。

概率生成模型实现判别任务的核心依据：贝叶斯定理：
$$P({\mathcal{Y}}_{pred}=i\mid \mathcal{X})=\frac{P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=i)P(\mathcal{Y}=i)}{P(\mathcal{X})}(i=0,1)$$
其中分母$P(\mathcal{X})$是一个关于样本集合$\mathcal{X}$的边缘概率分布：
$$P(\mathcal{X})={\int }_{\mathcal{Y}}P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})P(\mathcal{Y})d\mathcal{Y}$$
由于$P(\mathcal{X})$和$\mathcal{Y}$无关，因此将$P(\mathcal{X})$视为常数；从而可以将$P({\mathcal{Y}}_{pred}=i\mid \mathcal{X})$表示如下：
$$P({\mathcal{Y}}_{pred}=i\mid \mathcal{X})\propto P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=i)P(\mathcal{Y}=i)(i=0,1)$$
因而根据概率生成模型的朴素思想，对结果的比较方式进行替换：
$$\begin{gathered} P({\mathcal{Y}}_{pred}=0\mid \mathcal{X})\stackrel{\text{?}}{=}P({\mathcal{Y}}_{pred}=1\mid \mathcal{X}) \\ \to P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=0)P(\mathcal{Y}=0)\stackrel{\text{?}}{=}P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=1)P(\mathcal{Y}=1) \end{gathered}$$

观察等式两边的任意一项：
$P(\mathcal{Y}=0)$表示关于标签数据结果为$0$的先验概率分布；$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=0)$表示标签数据确定的情况下，样本$\mathcal{X}$的概率分布，即似然的概率分布。

根据概率生成模型的朴素思想，我们将通过求解似然、先验分布的概率分布参数来比较后验概率分布的大小。

通过比较发现：
概率判别模型与概率生成模型的核心区别：

• 概率判别模型求解的是模型参数；
• 概率生成模型求解的是概率分布参数；

高斯判别分析

高斯判别分析就是基于概率生成模型的朴素思想，对似然$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})$、先验$P(\mathcal{Y})$进行一系列假设，从而通过对似然、先验概率进行求解来替代后验概率$P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})$进行比较。

场景描述

仍然以二分类为例，数据集合$Data=\{(x^{(i)},y^{(i)}){\}}_{i=1,2,\cdots ,N}$；其中任意$x^{(i)}$是$p$维向量，对应$y^{(i)}$是一个表示分类标签的标量：
x ( i ) = ( x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , ⋯   , x p ( i ) ) T y ( i ) ∈ { 0 , 1 } x^{(i)} = (x_1^{(i)},x_2^{(i)},\cdots,x_p^{(i)})^{T} \\ y^{(i)} \in \{0,1\} x(i)=(x1(i)​,x2(i)​,⋯,xp(i)​)Ty(i)∈{0,1}

策略构建

由于是二分类，我们不妨设分类标签的先验概率服从伯努利分布。即：
这个‘伯努利分布’仅因为我们假设的是二分类而设定的，如果是多分类，也可以设置为categorical分布。
$$\mathcal{Y}\sim Bernoulli(\varphi )$$
其中$\varphi$表示选择各类标签的概率。任意分类标签$y^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$的概率分布选择 表示如下：

因此，分类标签的先验概率$P(\mathcal{Y})$的概率密度函数表示如下：
$$P(\mathcal{Y})={\varphi }^{\mathcal{Y}}(1-\varphi {)}^{1-\mathcal{Y}}$$

高斯判别分析的核心假设：
在分类标签的先验概率分布确定的条件下，我们设各标签对应的似然$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=0),P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=1)$均 服从高斯分布，为了简化运算，假定两个高斯分布包含 相同的协方差信息。
该假设不同于‘先验分布假设’，该假设是’高斯判别分析‘的特有假设。
$$\{\begin{array}{l}\mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=1\sim \mathcal{N}({\mu }_1,\Sigma )\\ \mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=0\sim \mathcal{N}({\mu }_2,\Sigma )\end{array}$$
将$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})$的概率密度函数表示如下：
$$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})=\mathcal{N}({\mu }_1,\Sigma {)}^{\mathcal{Y}}\mathcal{N}({\mu }_2,\Sigma {)}^{1-\mathcal{Y}}$$
上述公式同逻辑回归中后验概率的处理方法，只是 合并上述两种似然情况的一种表达方式：

• 当$\mathcal{Y}=0$时，$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})=\mathcal{N}({\mu }_2,\Sigma )$；
• 当$\mathcal{Y}=1$时，$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})=\mathcal{N}({\mu }_1,\Sigma )$；

至此，似然、先验概率分布均表达完毕。观察具体对哪些概率分布参数进行求解：
θ = { μ 1 , μ 2 , Σ , ϕ } \theta = \left\{\mu_1,\mu_2,\Sigma,\phi\right\} θ={μ1​,μ2​,Σ,ϕ}
对$P(\mathcal{X},\mathcal{Y})=P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})P(\mathcal{Y})$进行极大似然估计：

• 有人可能会问：既然已经引入了’先验概率‘$P(\mathcal{Y})$,为什么依然是’极大似然估计‘(MLE)，不应该是’最大后验概率估计‘(MAP)吗？
  以下是个人理解：
  在极大似然估计与最大后验概率估计中介绍过，最大后验概率估计可以理解为在极大似然估计的基础上，添加一个先验分布作为约束，但是该先验分布是 预先知道的，分布中没有任何未知量。
  就像文中提到的投掷骰子的例子，我们让先验分布$P(\theta )$服从一个高斯分布：
  $$\theta \sim \mathcal{N}(\mu =0.5,{\sigma }^2=0.01)$$
  但高斯判别分析的假设中，对于先验分布$P(\mathcal{Y})$中的 $\varphi$同样是未知的，也是待求解的一部分。因此，与其说是极大似然估计，还不如说是极大联合概率分布估计。

极大似然估计表达如下：
为了方便计算，依然使用$\log$似然：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\theta )& =\log \prod _{i=1}^{N}P(x^{(i)},y^{(i)})\\ & =\sum _{i=1}^N\log \left[P(x^{(i)}\mid y^{(i)})P(y^{(i)})\right]\end{array}$$
其中 θ = { μ 1 , μ 2 , Σ , ϕ } \theta =\{\mu_1,\mu_2,\Sigma,\phi\} θ={μ1​,μ2​,Σ,ϕ}，最优模型参数表示如下：
$$\begin{array}{rl}\hat{\theta }& =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\mathcal{L}(\theta )\\ & =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log \left[P(x^{(i)}\mid y^{(i)})P(y^{(i)})\right]\\ & =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\left[\log P(x^{(i)}\mid y^{(i)})+\log P(y^{(i)})\right]\end{array}$$
将对应概率密度函数代入上式：
$$\begin{array}{rl}\hat{\theta }& =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\left\{\log \left[\mathcal{N}({\mu }_1,\Sigma {)}^{y^{(i)}}\mathcal{N}({\mu }_2,\Sigma {)}^{1-y^{(i)}}\right]+\log \left[{\varphi }^{y^{(i)}}(1-\varphi {)}^{1-y^{(i)}}\right]\right\}\end{array}$$
为了方便对各参数求最优解，将${\mu }_1,{\mu }_2$参数分开，最终表示结果如下：
$$\hat{\theta }=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\left\{\log \left[\mathcal{N}({\mu }_1,\Sigma {)}^{y^{(i)}}\right]+\log \left[\mathcal{N}({\mu }_2,\Sigma {)}^{1-y^{(i)}}\right]+\log \left[{\varphi }^{y^{(i)}}(1-\varphi {)}^{1-y^{(i)}}\right]\right\}$$

下一节将对$\theta$中的各个参数求最优解。

相关参考：
机器学习-线性分类(6)-高斯判别分析(Gaussain Discriminant Analysis)-模型定义