C#，数值计算，希尔伯特矩阵（Hilbert Matrix）的算法与源代码

Hilbert, David (1862-1943)

希尔伯特（Hilbert）

德国数学家，在《几何学基础》中提出了第一套严格的几何公理（1899年）。他还证明了自己的系统是自洽的。他发明了一条简单的空间填充曲线，即埃里克·魏斯汀的数学世界，即希尔伯特曲线，埃里克·魏斯汀的数学世界，并证明了不变理论中的“基本定理”。他的许多贡献涉及数论、数学逻辑、数学微分方程、数学和三体问题。Eric Weisstein的物理世界他也证明了Waring定理。Eric Weisstein的数学世界

在1900年巴黎国际会议上，希尔伯特提出了23个数学中的突出问题，他认为20世纪的数学家应该致力于解决这些问题。这些问题被称为希尔伯特问题，埃里克·魏斯汀的数学世界，还有一些至今仍未解决。希尔伯特被告知，他班上的一名学生为了成为诗人而放弃了数学，据报道，他说“很好——他没有足够的想象力成为数学家”。

希尔伯特矩阵（Hilbert Matrix）

希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。
希尔伯特矩阵是一种特殊的汉克尔矩阵。

汉克尔矩阵（Hankel Matrix）

汉克尔矩阵 (Hankel Matrix) 是指每一条副对角线上的元素都相等的矩阵，在数字信号处理、数值计算、系统控制等领域均有广泛的应用。
汉克尔矩阵与常对角矩阵，即托普利兹（Toeplitz）矩阵类似，将汉克尔矩阵上下颠倒即可得到每一条主对角线的元素都相等的Toeplitz矩阵。

托普利兹矩阵（Toeplitz Matrix）

托普利兹矩阵，简称为T型矩阵，托普利兹矩阵的主对角线上的元素相等，平行于主对角线的线上的元素也相等；矩阵中的各元素关于次对角线对称，即T型矩阵为次对称矩阵。简单的T形矩阵包括前向位移矩阵和后向位移矩阵。在数学软件Matlab中，生成托普利兹矩阵的函数是：toeplitz(x,y)。它生成一个以 x 为第一列，y 为第一行的托普利兹矩阵，这里x, y均为向量，两者不必等长。

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;

namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{
    public static partial class Algorithm_Gallery
    {
        public static double[,] Hilbert_Matrix(int n)
        {
            double[,] matrix = new double[n, n];
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    matrix[i, j] = (double)1.0 / ((i + 1) + (j + 1) - (double)1.0);
                }
            }
            return matrix;
        }
    }
}