欧几里得定理的证明

质数的个数是无限的吗？还是说存在一个最大的质数，比它大的任何数字都可以表示为已有质数的乘积？首先提出这个问题的正式欧几里得本人，他以一种简单而优雅的方式证明了质数有无穷多个，所以并不存在所谓的”最大质数”。为了验证这个命题，我们暂且假设质数的个数是有限的，并用字母N来达标已知最大的质数。现在我们将所有质数相乘，最后再加1，数学表达式如下：

这个式子得出的结果当然比所谓的“最大质数” N大得多，但是这个数显然不能被任何一个质数（最大到N为止）整除，因为它是用上面这个式子构建出来的。根据这个数学式，我们可以清晰的看到，无论用哪个质数去除它，最后必然得到余数1.因此，我们得到这个数字要么是个质数，要么能被一个大于N的质数整除，无论哪个结果都必将推翻我们最初的假设，即N是最大的质数。

这种证明方法叫做归谬法，它是数学家最爱的工具之一。

基于以上推理，我们可以进行这种构造验证一下，看每次构造出来的数字是否都是质数。

从最初的两个质数开始构造：

根据上面的反证法，已知,构造出方法为：

所以，

结束！