• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第七次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第七次作业

01 第七次作业

一、习题简介

  在第七次作业中有一道习题，求解双三角脉冲的频谱。 这是在课堂讲解完傅里叶变换的微分形式和卷积性质之后，  专门来联系这两个定理的习题。 实际上，利用单个三角脉冲的频谱， 加上傅里叶变换的时移特性， 求解这个习题也是挺方便的。 下面让我们讨论一下这个习题的求解思路。 并对比两种方法所得到的结果。

二、习题求解

1、微分方法求解

  下面先利用微分性质进行求解。 这是对信号进行一阶求导的波形。 再次求导，得到二阶导数。 信号只剩下五个冲激信号。 分别写出这五个信号的频谱， 实际上就是以他们的强度乘以所在位置对应的相位因子。  将它们叠加在一起，  提取相同的比例因子。   最后根据他们极性合并成一个表达式。 这是 f(t) 两阶导数对应的频谱。   下面对括号里面的因式进行化简， 对于前后两个复指数， 利用欧拉公式， 将它们合并成 2 cosine omega tau 除以 2。 对于中间两个复指数因子， 也合并成 cosine 函数。  它们整理一下，  得到最终的表达式。 

  根据傅里叶变换微分和积分性质，   信号的频谱等于其导数频谱除以 j omega。 代入刚刚求得的导数频谱。 将其进行整理，  化简前面的系数。 将负号移到括号里面， 重新排列， 最终得到信号的频谱。 实际上括号里面，使用三角函数恒等变形， 还可以进一步化简， 这是最终化简的形式。   这里给出了使用微分性质求取的信号频谱。 可以看到它是关于 omega 的偶函数， 并且随着 omega 平方分之一 进行衰减。

2、卷积方法求解

 下面讨论一下使用卷积性质求解 f(t) 的频谱。  这需要将原来的信号分解成两个简单信号的卷积。 这里给出了一个分解方案。  一个信号是一个矩形脉冲信号， 宽度为 四分之 tau， 高度是 1。 另外一个包括两个矩形脉冲信号，  可以看成 f1(t)，经过左右平移四分之tau之后， 高度乘以 tau 分之 4E。

 下面分别求两个信号的频谱。 根据第一个矩形信号的宽度和高度， 写出对应的频谱。 第二个信号的频谱， 根据时移特性， 可以在第一个信号频谱的基础上， 增加相位因子叠加而成。 下面对其进行化简。 后面一项写成 cosine 函数。  再将 f1 信号频谱代入， 这样便得到了 f2(t) 信号的频谱。  然后在利用傅里叶变换卷积定理，  将 f1, f2 信号的频谱相乘， 便得到了 f(t) 的频谱了。  最后将结果进行恒等变形。 得到了化简后的表达式。 
  这是利用卷及性质得到的结果。   下面与第一种方法得到的结果对比， 可以看到这两种方法所得到的结果是相同的。

※ 总  结 ※

  本文对于第七次作业中利用傅里叶变换的微分性质和卷积性质求解信号频谱进行了讨论。 不同的方法难易程度不一样， 大家还可以应用时移特性帮助求解。

■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第七次作业
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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 习题内容
• 图1.2.1 推导过程
• 图1.2.1 微分方法求得结果
• 图1.2.3 两种方法所得到的结果