• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第一次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第一次作业

01 奇异信号

一、前言

在信号与系统中介绍了一类典型的奇异信号， 信号本身或者导数中存在不连续的点。  课程中给出了四个典型的奇异信号。 它们在信号分析中扮演着不同的角色。 它们之间具有导数的关系。  这些信号作用在线性 时不变 系统中，  系统的零状态响应  与输入信号之间 具有卷积的关系。 这是一个积分运算。 在我们介绍的四种奇异信号中， 前面两个信号，单位斜边信号和单位阶跃信号，在积分运算中并没有特殊表现。 但对于单位冲激信号与单位 冲击偶 信号来讲， 积分运算会有一些和传统不一样的结果。

二、奇异信号特性

在这张表格中， 总结了 delta t 和 delta 一撇 t 在信号与系统应用中的主要性质。 在定义了 delta t 的基础上，通过求导得到 delta 一撇 t 的定义。 它们分别是偶函数和奇函数。  在抽样特性中， 它们的表现也不同， 单位冲激信号， 与任何信号相乘，都等于该信号在 0 点的取值乘以 delta t。 乘积的积分，等于信号在 0 点的取值。  对于单位 冲击偶 信号， 相应的特性就有了区别。 可以看到与测试信号 f(t) 的乘积结果中包含有两项。 这两项分别是 冲激偶 信号 和 冲激信号。 乘积的积分 则等于信号在 0 点导数的取值，再乘以负一。 这实际上是乘积第二项积分结果。   这两个信号的积分结果分别是 单位阶跃信号和单位冲激信号。 与信号的卷积则得到信号本身以及信号的导数。 关于这些性质的证明需要使用到 分配函数 的理论。

三、习题求解

作业中给出了六个小题， 下面逐一分析一下它们的结果。 第一题， 涉及到单位冲击信号的尺度特性， 它拉伸两倍的结果等于 2 倍的 delta t。 由此可以将原来的积分进行变形， 得到两倍的信号与 delta t 的积分。 根据 delta t 的抽样特性， 结果等于信号在 0 点取值的两倍。

第二小题中， 包含有冲激信号的延迟。  可以使用变量替换的方法， 前面的 cosine 信号中的变量也进行替换，  积分中的微分以及积分的上限和下限都不变。 再利用单位冲激信号的抽样特性，  可以得到结果 cosine 三分之 2 pi。这个结果也可以直接归纳为冲激信号延迟抽样特性。 化简结果为 负 二分之一。 这是第二小题的结果。

第三小题中， 包括有符号参量 t0。  因此在结果中 也会包含有 t0。 最终的取值与 t0 的正负有关系。 当 t0 大于 0。 对应的结果为 1。 当 t0 等于0时， 对应的结果等于 0.5 。 当 t0 小于 0 时，对应的结果为 负一。  这是第三小题的答案。

选做题中包含有 单位冲激偶信号， 根据它的抽样特性， 与任何信号乘积的积分， 都等于信号导数在 0 点取值乘以负一。  这个题目被积函数求导后， 再乘以负一。 对应在 0 点的取值 等于 2。 因此这个题目的结果为 2。

选做题第二小题， 包含有两个冲激信号。 根据积分的线性， 这个积分可以分成两部分， 分别应用冲激信号的抽样特性和延迟抽样特性， 最终得到计算结果。 等于 1 加上 e 的 负 j omega 0 t 0 次方。 这是第二小题的答案。

第三小题同时包含有 delta t 和 delta 一撇 t。 将它们分别计算。 得到 e 的 负一次方，加上 e 负 tao 的导数 在 0 点的取值。 最后结果等于 e 的负一次方加1。 

※ 总  结 ※

本文给出了第一次作业中关于冲激信号和 冲击偶 信号的有关性质。 分析了它们的抽样特性， 以及延迟抽样特性。 这对之后应用它们打下基础。

■ 相关文献链接:

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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 奇异信号与系统相互作用
• 图1.1.2 奇异信号的性质
• 图2.1 第二题的部分答案