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2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第八道题

系统 2021 信号 作业 春季 参考答案 学期 第三次
2023-09-11 14:15:21 时间


本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

 

▌第八道题

8. 某LTI系统，输入信号 e ( t ) = 2 e − 3 t u ( t ) e\left( t \right) = 2e^{ - 3t} u\left( t \right) e(t)=2e−3tu(t)，在该输入下的响应为： r ( t ) r\left( t \right) r(t)，即： r ( t ) = H [ e ( t ) ] r\left( t \right) = H\left[ {e\left( t \right)} \right] r(t)=H[e(t)]。

又已知：

H [ d d t e ( t ) ] = − 3 r ( t ) + e − 2 t u ( t ) H\left[ {{d \over {dt}}e\left( t \right)} \right] = - 3r\left( t \right) + e^{ - 2t} u\left( t \right) H[dtd​e(t)]=−3r(t)+e−2tu(t)

求该系统的单位冲击响应 h ( t ) h\left( t \right) h(t)。

※ 第8题为思考题。

 

▌求解

1.第一种求解方法

由于 r ′ ( t ) = − 3 r ( t ) + e − 2 t u ( t ) r'\left( t \right) = - 3r\left( t \right) + e^{ - 2t} u\left( t \right) r′(t)=−3r(t)+e−2tu(t)

即： e ′ ( t ) ∗ h ( t ) = − 3 e ( t ) ∗ h ( t ) + e − 2 t u ( t ) e'\left( t \right) * h\left( t \right) = - 3e\left( t \right) * h\left( t \right) + e^{ - 2t} u\left( t \right) e′(t)∗h(t)=−3e(t)∗h(t)+e−2tu(t)

将 e ( t ) = 2 e − 3 t u ( t ) e\left( t \right) = 2e^{ - 3t} u\left( t \right) e(t)=2e−3tu(t)代入上式，有：

[ − 6 e − 3 t u ( t ) + 2 e − 3 t δ ( t ) ] ∗ h ( t ) = − 6 e − 3 t u ( t ) ∗ h ( t ) + e − 2 t u ( t ) \left[ { - 6e^{ - 3t} u\left( t \right) + 2e^{ - 3t} \delta \left( t \right)} \right] * h\left( t \right) = - 6e^{ - 3t} u\left( t \right) * h\left( t \right) + e^{ - 2t} u\left( t \right) [−6e−3tu(t)+2e−3tδ(t)]∗h(t)=−6e−3tu(t)∗h(t)+e−2tu(t)

从而得到： 2 δ ( t ) ∗ h ( t ) = e − 2 t u ( t ) 2\delta \left( t \right) * h\left( t \right) = e^{ - 2t} u\left( t \right) 2δ(t)∗h(t)=e−2tu(t)

则： h ( t ) = 1 2 e − 2 t u ( t ) h\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - 2t} u\left( t \right) h(t)=21​e−2tu(t)

 

2.第二种求解方法

由于 r ( t ) = e ( t ) ∗ h ( t ) r\left( t \right) = e\left( t \right) * h\left( t \right) r(t)=e(t)∗h(t)，而且： − 3 r ( t ) + e − 2 t u ( t ) = d e ( t ) d t ∗ h ( t ) = d r ( t ) d t - 3r\left( t \right) + e^{ - 2t} u\left( t \right) = {{de\left( t \right)} \over {dt}} * h\left( t \right) = {{dr\left( t \right)} \over {dt}} −3r(t)+e−2tu(t)=dtde(t)​∗h(t)=dtdr(t)​

所以可以得到一下微分方程： d r ( t ) d t + 3 r ( t ) = e − 2 t u ( t ) {{dr\left( t \right)} \over {dt}} + 3r\left( t \right) = e^{ - 2t} u\left( t \right) dtdr(t)​+3r(t)=e−2tu(t)

此微分方程的齐次解： r h ( t ) = A ⋅ e − 3 t ,    t > 0 r_h \left( t \right) = A \cdot e^{ - 3t} ,\,\,t > 0 rh​(t)=A⋅e−3t,t>0

特解： r p ( t ) = B ⋅ e − 2 t ,    t > 0 r_p \left( t \right) = B \cdot e^{ - 2t} ,\,\,t > 0 rp​(t)=B⋅e−2t,t>0

将特解代入微分方程，有： − 2 B e − 2 t + 3 B e − 2 t = e − 2 t - 2Be^{ - 2t} + 3Be^{ - 2t} = e^{ - 2t} −2Be−2t+3Be−2t=e−2t，从而可得： B = 1 B = 1 B=1。

由于 r ( t ) r\left( t \right) r(t)是零状态响应，而且方程右端没有冲激项（没有奇异函数），所以 r ( 0 + ) = r ( 0 − ) r\left( {0_ + } \right) = r\left( {0_ - } \right) r(0+​)=r(0−​)。由此条件代入： r ( t ) = A e − 3 t + e − 2 t r\left( t \right) = Ae^{ - 3t} + e^{ - 2t} r(t)=Ae−3t+e−2t。可以求得： A = − 1 A = - 1 A=−1。则： r ( t ) = ( − e − 3 t + e − 2 t ) u ( t ) r\left( t \right) = \left( { - e^{ - 3t} + e^{ - 2t} } \right)u\left( t \right) r(t)=(−e−3t+e−2t)u(t)

将上式 r ( t ) r\left( t \right) r(t)代入前面的方程，可得： ( − e − 3 t + e − 2 t ) u ( t ) = e ( t ) ∗ h ( t ) = 2 e − 3 t u ( t ) ∗ h ( t ) \left( { - e^{ - 3t} + e^{ - 2t} } \right)u\left( t \right) = e\left( t \right) * h\left( t \right) = 2e^{ - 3t} u\left( t \right) * h\left( t \right) (−e−3t+e−2t)u(t)=e(t)∗h(t)=2e−3tu(t)∗h(t)

引入微分算则，求解该卷积方程： ( 1 p + 2 − 1 p + 3 ) δ ( t ) = 2 p + 3 δ ( t ) ∗ h ( t ) \left( {{1 \over {p + 2}} - {1 \over {p + 3}}} \right)\delta \left( t \right) = {2 \over {p + 3}}\delta \left( t \right) * h\left( t \right) (p+21​−p+31​)δ(t)=p+32​δ(t)∗h(t)

两边同乘以： 1 2 ( p + 3 ) {1 \over 2}\left( {p + 3} \right) 21​(p+3)，

有 h ( t ) = 1 2 ⋅ 1 p + 2 δ ( t ) h\left( t \right) = {1 \over 2} \cdot {1 \over {p + 2}}\delta \left( t \right) h(t)=21​⋅p+21​δ(t)即： h ( t ) = 1 2 e − 2 t u ( t ) h\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - 2t} u\left( t \right) h(t)=21​e−2tu(t)

 

※ 附录

■ 相关文献链接:

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