本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

▌第十道题

10. 求解差分方程：

（1）第一小题

$$y\left[n\right]=-5y\left[n-1\right]+n$$$$y\left[-1\right]=0$$

（2）第二小题

$$y\left[n\right]+2y\left[n-1\right]+y\left[n-2\right]=3^n$$$$y\left[-1\right]=0,y\left[0\right]=0$$

▌求解

1.第一小题

特征方程为：$\alpha +5=0$

求得特征根：$\alpha =-5$

于是齐次解为：$y_h\left[n\right]=C\cdot {\left(-5\right)}^n$

由于输入信号是$n$，所以令特解为：$y_p\left[n\right]=D_{1}n+D_2$

将特解代入方程，有： D 1 n + D 2 + 5 { D 1 [ n − 1 ] + D 2 } = n D_1 n + D_2 + 5\left\{ {D_1 \left[ {n - 1} \right] + D_2 } \right\} = n D1​n+D2​+5{D1​[n−1]+D2​}=n

比较上式左右同类项系数可得：$$D_1=\frac{1}{6},D_2=\frac{5}{36}$$

则差分方程的完全解为：$$y\left[n\right]=y_h\left[n\right]+y_p\left[n\right]=C{\left(-5\right)}^n+\frac{1}{6}n+\frac{5}{36}$$

将$y\left[-1\right]=0$代入上式，可得：$C=-\frac{5}{36}$

所以：$$y\left[n\right]=\frac{1}{36}\left[{\left(-5\right)}^{n+1}+6n+5\right]$$

2.第二小题

特征方程为：${\alpha }^2+2\alpha +1=0$

求得特征根：${\alpha }_1={\alpha }_2=-1$

于是齐次解为：$y_h\left[n\right]=\left(C_{1}n+C_2\right){\left(-1\right)}^n$

由于输入信号为指数序列$3^n$，令特解为：$y_p\left[n\right]=D_1\cdot 3^n$

将特解代入方程，有：$$D_1\cdot 3^n+2D_1\cdot 3^{n-1}+D_1\cdot 3^{n-2}=3^n$$

比较上式左右同类型系数，可以求得：$$D_1=\frac{9}{16}$$

则差分方程的完全解为：$$y\left[n\right]=y_h\left[n\right]+y_p\left[n\right]=\left(C_{1}n+C_2\right){\left(-1\right)}^n+\frac{9}{16}\cdot 3^n$$

将$y\left[-1\right]=0,y\left[0\right]=0$代入上式，可得：

$$\left(-C_1+C_2\right)\times \left(-1\right)+\frac{9}{16}\times \frac{1}{3}=0$$
$$C_2+\frac{9}{16}=0$$

求解得到完全解中的待定系数：$$C_1=-\frac{3}{4},C_2=-\frac{9}{16}$$

所以：$$y\left[n\right]=\left(-\frac{3}{4}n-\frac{9}{16}\right){\left(-1\right)}^n+\frac{9}{16}{3}^n$$

※ 附录

■ 相关文献链接:

• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第一道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第二道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第三道题
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