• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第八次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第八次作业

 

01 第八次作业

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一、习题简介

  第八次作业中， 有一个关于信号解调系统分析的习题。 系统的输入，乘以本地振荡信号 cos(omega,c,t) ， 再通过一个低通滤波器， HL(omega)。 这里给出了频率特性表达式。   习题要求回答以下四个问题。  对于虚线框内的系统， 写出对应的单位冲激响应的信号 h(t)。 将输入信号修改为 sinc 函数的平方的调制信号， 求系统的输出。 对于调制信号修改成 sine函数， 求对应的系统输出。 最后回答系统是否为线性 时不变 系统。 下面让我们讨论一下这个系统的求解思路。

二、习题求解

1、第一小问

  对于第一小问， 求系统的单位冲激响应。  也将是 x(t) 更换成 delta(t) 之后的系统输出。 乘以振荡信号 cosine omega t， 得到低通滤波器的输入，   实际上就是 delta t。 根据低通滤波器的频率特性。 系统的输出就是 HL(omega) 的傅里叶反变换。   由 HL omega 的表达式， 利用傅里叶变换的对偶特性。 对该方波频谱求傅里叶变换， 再除以 2 Pi， 反褶， 便可以得到对应的时域信号了。 再考虑后面的相位因子，  对信号延迟 t0。   这便是低通滤波器的输出，  也是该系统的单位冲激响应。 这是第一小问的答案。

▲ 图1.2.1 第一小问的解答

2、第二小问

  下面讨论第二小问，  给出了输入信号的表达式，是正弦幅度调制信号。 调制信号为 sinc 函数的平方。 对于单个 sinc 函数， 它的频谱是一个矩形信号，    这一点可以应用傅里叶变换对偶特性获得。 对应的频谱宽度与 sinc 函数中的系数是一样的。  该信号时域平方， 对应频谱进行卷积， 得到的是一个三角频谱。 频谱宽度为 2 omega。  再考虑同步解调系统， 该信号经过频率 omega c 的调制之后， 进入同步解调系统。  这里出现一个小的插曲， 调制信号的相位 与解调信号之间相差了 四分之 Pi。 这个因素会影响输出信号的幅值。  相乘之后的信号再通过后面带宽为 2 倍的 omega 低通滤波器， 最终获得解调信号。 

▲ 图1.2.2 第二小问求解
  在这里就不再列写相应的公式了， 直接给出结果。  如果调制信号与解调信号之间没有相位差， 输出信号的幅度是调制信号的一半。 再考虑到载波信号之间存在 四分之 Pi 的相位差， 这会造成输出信号的幅值降低 根号二分之一。 结合前面的结果， 系统的输出为调制前的输入信号， 除以 2 倍的 根号二。

  至此， 我们得到了第二小问系统输出信号， 最后， 还需要考虑低通滤波器的相位所到来的时间延迟， 将结果中的 t 修改成 t 减去 t0。 系统的输出是输入调制信号， 除以 2倍的 根号二， 然后在延迟 t0。

3、第三小问

  关于系统的第三小题，  输入信号也同样是一个调制信号。  只是载波是 sine omega c t。  与同步解调振荡信号之间相差 90°。 所以不管调制信号是什么波形，  系统输出都是 0。 所以第三小问，系统输出为 0。

▲ 图1.2.3 系统输出为0

4、第四小问

  第四小问， 是关于该系统的线性与时不变特性的询问。  该系统中的低通滤波部分属于线性时不变，  但是前面时域相乘部分， 则属于时变线性系统。 所以，系统本身 是属于线性系统， 时变系统。 同步解调系统为线性时变系统。

 

※ 总  结 ※

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  本文针对同步解调系统习题进行分析。 该系统是一个线性时变系统。

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第八次作业
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● 相关图表链接:

• 图1.2.1 第一小问的解答
• 图1.2.2 第二小问求解
• 图1.2.3 系统输出为0