• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第二次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第二次作业

 

01 直流分量

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一、习题介绍

  对于一般的信号  可以进行直流分量和交流分量的分解。 这两个分量之间是相互正交的。 直流分量定义为信号在一段时间内的平均值，  当时间段长度趋于无穷大时，平均值的极限等于信号的直流分量。 如果信号是一个周期信号， 在信号一个周期内的平均值 就等于信号的平均分量。 从信号中减去直流分量，剩下的为信号的交流分量。  在第一次作业中包括有一个习题，分解信号的直流分量和交流分量。

▲ 图1.1.1 信号的直流分量与交流分量

二、习题求解

1、第一题

  作业中给出了四个小题，它们都是周期信号。 第一题是 cosine 信号的绝对值。 对应着一个全波整流信号的波形。 它的周期为 二分之 pi。   该信号的直流分量可以通过求一个周期内的平均值获得。  经过数学化简， 最终答案为 pi 分之 2。  绘制出信号的直流分量， 它大约为 0.637。 去除直流分量之后，  剩下的就是信号的交流分量了。 信号的交流分量围绕其直流分量上下波动。

2、第二题

  第二小题 是通过累加描述周期为 1 的周期信号。 两个单位阶跃信号的差值描述了矩形脉冲信号。 脉冲的宽度为 0.1。   这是信号对应的波形。 由于是一个简单的窗口信号， 所以对应的面积比较容易计算。 面积等于 0.1， 对应的直流分量为 0.1。 交流分量是在原来的周期信号的基础上减去 0.1。

▲ 图1.2.1 周期矩形脉冲信号

3、第三题

  第三小题是周期冲激序列。 它在一个周期内的平均值 是 delta t 的面积除以 周期 1。 得到该信号的直流分量等于1。 剩下的是交流分量。

▲ 图1.2.2 周期冲激序列
  记得有一位同学课下问我一个问题， 反映了它对于交流分量的疑问。 对于这个交流分量中 没一个周期都是冲激信号减去1。   这也是一个奇异信号。 delta t 减去1，是否与 delta t 本身相同呢？ 从分配函数的角度来看， 这个函数与任何一个测试函数相乘都包含有两项， 分别是信号在 0 点的取值乘以 delta t， 以及信号本身， 所以这个信号与 delta t 之间还是有区别的。 的确这中间还存在着一些疑问。当我想明白了再进行讨论吧。 这是周期冲激序列对应的直流和交流分量。

4、第四题

  第四小题相对比较容易， 在第三章傅里叶级数分解中经常会看到这种形式的信号。 其中 0.5 是信号的直流分量， 后面两项是信号的交流分量。  这是信号的波形，信号本身不是一个周期信号，因为它的两个交流分量之间的频率比值是一个无理数。 所以严格意义上来讲这个信号的直流分量应该通过计算区间平均值获得， 区间长度趋向于无穷大。  由于信号的表达式， 所以我们还是比较容易的判断出它中间的直流分量 和交流分量。

▲ 图1.2.3 非周期信号中的支流和交流分量

 

※ 总  结 ※

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  本文讨论了第二次作业中，信号进行直流和交流分量分解的习题。 前三个是周期信号，最后一个是非周期信号。

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■ 相关文献链接:

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• 图1.1.1 信号的直流分量与交流分量
• 图1.2.1 周期矩形脉冲信号
• 图1.2.2 周期冲激序列
• 图1.2.3 非周期信号中的支流和交流分量