二次型惯性定理

任何一个实二次型$f$，都可以经过可逆变换化为唯一规范型
$$f=z_1^2+z_2^2+\dots z_r^2$$
其中$r$是$f$的秩

证明：
设可逆变换$X=CY$化为标准型
$$f=d_1{y}_1^2+\dots d_p{y}_p^2-d_{p+1}{y}_{p+1}^2-\dots d_r{y}_r^2$$
其中$d_i>0(i=1,2,\dots ,r)$

再做$y_i=\frac{1}{\sqrt{d_i}}{z}_i(i=1,2,\dots ,r)$,化为规范型
$$f=z_1^2+z_2^2+\dots z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2$$

现在证明唯一性
设有两个可逆变换$X=C_{1}Y,X=C_{2}Z$
使得
$$\begin{array}{rl}f& =y_1^2+y_2^2+\dots y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2\\ & =z_1^2+z_2^2+\dots z_q^2-z_{q+1}^2-\cdots -z_r^2\end{array}$$
现在要证明$p=q$
假设$q<p<r$
设$C_1=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n),C_2=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n)$
考虑向量组
$${\xi }_1,\dots ,{\xi }_p,{\xi }_{r+1},\dots ,{\xi }_n,{\eta }_{q+1},\dots ,{\eta }_r$$
个数$p+(n-r)+(r-q)=n+(p-q)>n$
所以线性相关
存在不全为$0$的数$y_1,\dots ,y_p,y_{r+1},\dots ,y_n,z_{q+1},\dots ,z_r$
使得
$$y_1{\xi }_1+\cdots +y_p{\xi }_p+y_{r+1}{\xi }_{r+1}+\cdots +y_n{\xi }_n+z_{q+1}{\eta }_{q+1}+\cdots +z_r{\eta }_r=0$$
于是
$$\begin{array}{rl}& y_1{\xi }_1+\cdots +y_p{\xi }_p+y_{r+1}{\xi }_{r+1}+\cdots +y_n{\xi }_n\\ & =-(z_{q+1}{\eta }_{q+1}+\cdots +z_r{\eta }_r)\\ & =X\ne 0\end{array}$$
$$f(X)=y_1^2+y_2^2+\cdots +y_p^2\ge 0$$
$$f(X)=-z_{q+1}^2\cdots -z_r^2<0$$
矛盾
$p<q$同理
所以$p=q$