题目描述：

给你一个 n * n 矩阵 grid ，矩阵由若干 0 和 1 组成。请你用四叉树表示该矩阵 grid 。

你需要返回能表示矩阵的 四叉树 的根结点。

注意，当 isLeaf 为 False 时，你可以把 True 或者 False 赋值给节点，两种值都会被判题机制 接受 。

四叉树数据结构中，每个内部节点只有四个子节点。此外，每个节点都有两个属性：

• val：储存叶子结点所代表的区域的值。1 对应 True，0 对应 False；
• isLeaf: 当这个节点是一个叶子结点时为 True，如果它有 4 个子节点则为 False 。

class Node {
    public boolean val;
    public boolean isLeaf;
    public Node topLeft;
    public Node topRight;
    public Node bottomLeft;
    public Node bottomRight;
}

我们可以按以下步骤为二维区域构建四叉树：

1. 如果当前网格的值相同（即，全为 0 或者全为 1），将 isLeaf 设为 True ，将 val 设为网格相应的值，并将四个子节点都设为 Null 然后停止。
2. 如果当前网格的值不同，将 isLeaf 设为 False， 将 val 设为任意值，然后如下图所示，将当前网格划分为四个子网格。
3. 使用适当的子网格递归每个子节点。
   如果你想了解更多关于四叉树的内容，可以参考 wiki 。

四叉树格式：

输出为使用层序遍历后四叉树的序列化形式，其中 null 表示路径终止符，其下面不存在节点。

它与二叉树的序列化非常相似。唯一的区别是节点以列表形式表示 [isLeaf, val] 。

如果 isLeaf 或者 val 的值为 True ，则表示它在列表 [isLeaf, val] 中的值为 1 ；如果 isLeaf 或者 val 的值为 False ，则表示值为 0 。

示例 1：
示例 2：
输入：grid = [[1,1,1,1,0,0,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,0],[1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,0,0,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,0]]
输出：[[0,1],[1,1],[0,1],[1,1],[1,0],null,null,null,null,[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
解释：网格中的所有值都不相同。我们将网格划分为四个子网格。
topLeft，bottomLeft 和 bottomRight 均具有相同的值。
topRight 具有不同的值，因此我们将其再分为 4 个子网格，这样每个子网格都具有相同的值。
解释如下图所示：
示例 3：
输入：grid = [[1,1],[1,1]]
输出：[[1,1]]

示例 4：
输入：grid = [[0]]
输出：[[1,0]]

示例 5：
输入：grid = [[1,1,0,0],[1,1,0,0],[0,0,1,1],[0,0,1,1]]
输出：[[0,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,1]]

提示：
n == grid.length == grid[i].length
n == 2^x 其中 0 <= x <= 6

解题思路一：递归

class Solution {
public:
    Node *construct(vector<vector<int>> &grid) {
        function<Node*(int, int, int, int)> dfs = [&](int r0, int c0, int r1, int c1) {
            for (int i = r0; i < r1; ++i) {
                for (int j = c0; j < c1; ++j) {
                    if (grid[i][j] != grid[r0][c0]) { // 不是叶节点
                        return new Node(
                                true,
                                false,
                                dfs(r0, c0, (r0 + r1) / 2, (c0 + c1) / 2),//topLeft
                                dfs(r0, (c0 + c1) / 2, (r0 + r1) / 2, c1),//topRight
                                dfs((r0 + r1) / 2, c0, r1, (c0 + c1) / 2),//bottomLeft
                                dfs((r0 + r1) / 2, (c0 + c1) / 2, r1, c1)//bottomRight
                        );
                    }
                }
            }
            // 是叶节点
            return new Node(grid[r0][c0], true);
        };
        return dfs(0, 0, grid.size(), grid.size());
    }
};

解题思路二：递归 + 二维前缀和优化。O(1) 的时间内得到grid部分的和，空间换时间。

class Solution {
public:
    Node *construct(vector<vector<int>> &grid) {
        int n = grid.size();
        vector<vector<int>> pre(n + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                pre[i][j] = pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1] + grid[i - 1][j - 1];
            }
        }

        auto getSum = [&](int r0, int c0, int r1, int c1) {
            return pre[r1][c1] - pre[r1][c0] - pre[r0][c1] + pre[r0][c0];
        };

        function<Node *(int, int, int, int)> dfs = [&](int r0, int c0, int r1, int c1) {
            int total = getSum(r0, c0, r1, c1);
            if (total == 0) {
                return new Node(false, true);
            }
            if (total == (r1 - r0) * (c1 - c0)) {
                return new Node(true, true);
            }
            return new Node(
                    true,
                    false,
                    dfs(r0, c0, (r0 + r1) / 2, (c0 + c1) / 2),
                    dfs(r0, (c0 + c1) / 2, (r0 + r1) / 2, c1),
                    dfs((r0 + r1) / 2, c0, r1, (c0 + c1) / 2),
                    dfs((r0 + r1) / 2, (c0 + c1) / 2, r1, c1)
            );
        };

        return dfs(0, 0, n, n);
    }
};