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C语言实现的排列组合问题的通用算法、解决方法

C语言方法算法 问题 实现 解决 通用 排列组合
2023-06-13 09:15:44 时间

尽管排列组合是生活中经常遇到的问题，可在程序设计时，不深入思考或者经验不足都让人无从下手。由于排列组合问题总是先取组合再排列，并且单纯的排列问题相对简单，所以本文仅对组合问题的实现进行详细讨论。以在n个数中选取m(0<m<=n)个数为例，问题可分解为：

1.首先从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。

2.从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。

很明显，上述方法是一个递归的过程，也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组合。

下面是递归方法的实现：

复制代码代码如下:

///求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
///a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。
///b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，
///常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。
voidcombine(inta[],intn,intm, intb[],constintM)
{
 for(inti=n;i>=m;i--)  //注意这里的循环范围
 {
 b[m-1]=i-1;
 if(m>1)
  combine(a,i-1,m-1,b,M);
 else                    //m==1,输出一个组合
 {  
  for(intj=M-1;j>=0;j--)
   cout<<a[b[j]]<<"";
  cout<<endl;
 }
 }
}

因为递归程序均可以通过引入栈，用回溯转化为相应的非递归程序，所以组合问题又可以用回溯的方法来解决。为了便于理解，我们可以把组合问题化归为图的路径遍历问题，在n个数中选取m个数的所有组合，相当于在一个这样的图中（下面以从1,2,3,4中任选3个数为例说明）求从[1,1]位置出发到达[m,x](m<=x<=n)位置的所有路径：
复制代码代码如下:

1 2 3 4
   2 3 4
       3 4

上图是截取n×n右上对角矩阵的前m行构成，如果把矩矩中的每个元素看作图中的一个节点，我们要求的所有组合就相当于从第一行的第一列元素[1,1]出发，到第三行的任意一列元素作为结束的所有路径，规定只有相邻行之间的节点，并且下一行的节点必须处于上一行节点右面才有路径相连，其他情况都无路径相通。显然，任一路径经过的数字序列就对应一个符合要求的组合。

下面是非递归的回溯方法的实现：

复制代码代码如下:///求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
///a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。
///返回所有组合的总数。
intcombine(inta[],intn,intm)
{  
 m=m>n?n:m;

 int*order=newint[m+1];   
 for(inti=0;i<=m;i++)
 order[i]=i-1;           //注意这里order[0]=-1用来作为循环判断标识
 
 intcount=0;                               
 intk=m;
 boolflag=true;          //标志找到一个有效组合
 while(order[0]==-1)
 {
 if(flag)                  //输出符合要求的组合
 {  
  for(i=1;i<=m;i++)                   
   cout<<a[order[i]]<<"";
  cout<<endl;
  count++;
  flag=false;
 }

 order[k]++;               //在当前位置选择新的数字
 if(order[k]==n)         //当前位置已无数字可选，回溯
 {
  order[k--]=0;
  continue;
 }    
 
 if(k<m)                 //更新当前位置的下一位置的数字         
 {
  order[++k]=order[k-1];
  continue;
 }
 
 if(k==m)
  flag=true;
 }

 delete[]order;
 returncount;
}


下面是测试以上函数的程序：
复制代码代码如下:
intmain()
{
 constintN=4;
 constintM=3;
 inta[N];
 for(inti=0;i<N;i++)
 a[i]=i+1;

 //回溯方法
 cout<<combine(a,N,3)<<endl;

 //递归方法
 intb[M];
 combine(a,N,M,b,M);

 return0;
}


由上述分析可知，解决组合问题的通用算法不外乎递归和回溯两种。在针对具体问题的时候，因为递归程序在递归层数上的限制，对于大型组合问题而言，递归不是一个好的选择，这种情况下只能采取回溯的方法来解决。

n个数的全排列问题相对简单，可以通过交换位置按序枚举来实现。STL提供了求某个序列下一个排列的算法next_permutation，其算法原理如下：
1.从当前序列最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令前面一个元素为*i，后一个元素为*ii，且满足*i<*ii；

2.再次从当前序列末端开始向前扫描，找出第一个大于*i的元素，令为*j（j可能等于ii），将i，j元素对调；

3.将ii之后（含ii）的所有元素颠倒次序，这样所得的排列即为当前序列的下一个排列。

其实现代码如下：

复制代码代码如下:
template<classBidirectionalIterator>
boolnext_permutation(BidirectionalIteratorfirst,BidirectionalIteratorlast)
{
 if(first==last)returnfalse;  //空???br/>  BidirectionalIteratori=first;
 ++i;
 if(i==last)returnfalse;      //只有一??元素
 i=last;                         //i指向尾端
 --i;

 for(;;)
 {
 BidirectionalIteratorii=i;
 --i;
 //以上，?定一?（???）相?元素
 if(*i<*ii)                    //如果前一??元素小於後一??元素
 {
  BidirectionalIteratorj=last; //令j指向尾端
  while(!(*i<*--j));           //由尾端往前找，直到遇上比*i大的元素
  iter_swap(i,j);                //交?Qi,j
  reverse(ii,last);              //?ii之後的元素全部逆向重排
  returntrue;
 }
 if(i==first)                  //?行至最前面了
 {
  reverse(first,last);           //全部逆向重排
  returnfalse;
 }
 }
}


下面程序演示了利用next_permutation来求取某个序列全排列的方法：
复制代码代码如下:
intmain()
{
 intia[]={1,2,3,4};
 vector<int>iv(ia,ia+sizeof(ia)/sizeof(int));

 copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout,""));
 cout<<endl;
 while(next_permutation(iv.begin(),iv.end()))
 {
 copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout,""));
 cout<<endl;
 }

 return0;
}


注意：上面程序中初始序列是按数值的从小到大的顺序排列的，如果初始序列无序的话，上面程序只能求出从当前序列开始的后续部分排列，也就是说next_permutation求出的排列是按排列从小到大的顺序进行的。

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