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【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理正确性判定 | 形式结构是永真式 - 等值演算 | 从前提推演结论 - 逻辑推理 )

结构 形式 判定 前提 命题 等值 正确性 结论
2023-06-13 09:17:44 时间

文章目录

一、 命题逻辑推理正确性判定

命题推理 , 根据 前提 , 推理出 结论 ;

如 : 前提 : 是

p \to (q \to r)

,

p

,

q

; 结论 : 是

r

如何判定根据上述前提 , 推理出的结论是正确的呢 ?

推理定律 :

A,B

是两个命题 , 如果

A \to B

是永真式 , 那么

A \Rightarrow B

;

推理的形式结构

前提 :

A_1 , A_2 , \cdots , A_k

结论 :

B

推理的形式结构为 :

(A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B

命题逻辑 推理的正确性 判定 , 有两种方法 ;

方法一 : 写出推理的 形式结构 , 查看该推理的形式结构是不是 永真式 ; 如果是永真式 , 那么该推理是正确的 ;

方法二 : 从 前提 推演 结论 , 根据 等值演算规则 , 推理规则 , 进行推演 ;

二、 形式结构是永真式 ( 等值演算 )

等值演算参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )

前提 :

p \to (q \to r)

,

p

,

q

; 结论 :

r

推理的形式结构是 :

(p \to (q \to r)) \land p \land q \to r

使用 等值演算 的方法 , 验证上述形式结构是否是 永真式 ;

联结词的 优先级为 : “

\lnot

” 大于 “

\land , \lor

” 大于 “

\to, \leftrightarrow

” ; 先从优先级较高的开始进行 ;

(p \to (q \to r)) \land p \land q \to r

蕴涵等值式 : 使用 蕴涵等值式 规则 , 将上述

(p \to (q \to r))

进行等值演算 :

\Leftrightarrow (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p \land q \to r

分配率 : 根据 分配率 , 计算

(\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p

部分 :

\Leftrightarrow (( \lnot p \land p ) \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r

矛盾律 : 其中 根据 矛盾律 可知 ,

\lnot p \land p \Leftrightarrow 0

:

\Leftrightarrow ( 0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r

同一律 : 根据 同一律 ,

0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p )

与

(\lnot q \lor r) \land p

是等价的 :

\Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q \to r

结合律 : 根据 结合律 , 重新结合

( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q

为

( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p

:

\Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p \to r

分配率 : 根据 分配率 , 计算

(\lnot q \lor r) \land q

, 结果是

(\lnot q \land q) \lor (r \land q)
\Leftrightarrow ( (\lnot q \land q) \lor (r \land q) ) \land p \to r

矛盾律 : 根据 矛盾律 计算

\lnot q \land q

, 其结果是

0

:

\Leftrightarrow ( 0 \lor (r \land q) ) \land p \to r

同一律 : 根据同一律 ,

0 \lor (r \land q)

等价于

(r \land q)

:

\Leftrightarrow (r \land q) \land p \to r

联结词优先级 :

(r \land q) \land p

中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;

\Leftrightarrow (r \land q \land p ) \to r

蕴涵等值式 : 根据 蕴涵等值式 , 消去 蕴涵联结词

\to

:

\Leftrightarrow \lnot (r \land q \land p) \lor r

德摩根律 : 根据 德摩根律 , 将否定符号分配到括号中 ;

\Leftrightarrow (\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r

联结词优先级 :

(\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r

中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;

\Leftrightarrow \lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p \lor r

排中律 : 根据排中律 ,

\lnot r \lor r

与

1

等价 ;

\Leftrightarrow 1 \lor \lnot q \lor \lnot p

零律 : 根据零律 ,

1

析取任何值 , 都等价于

1

:

\Leftrightarrow 1

三、 从前提推演结论 ( 逻辑推理 )

逻辑推理参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

前提 :

p \to (q \to r)

,

p

,

q

; 结论 :

r

将前提条件使用合取联结词连接起来 ,

(p \to (q \to r)) \land p \land q

, 进行等值演算 , 计算出

r

;

(p \to (q \to r)) \land p \land q

等值演算 结合律 :

\Leftrightarrow ((p \to (q \to r)) \land p) \land q

逻辑推理 假言推理 :

( A \to B ) \land A \Rightarrow B

, 因此从

(p \to (q \to r)) \land p

可以推理出

q \to r

;

\Rightarrow (q \to r) \lor q

逻辑推理 假言推理 :

( A \to B ) \land A \Rightarrow B

, 因此从

(q \to r) \lor q

可以推理出

r

;

\Rightarrow r

逻辑推理 比 等值演算 快 , 等值演算比较直观 , 逻辑推理需要选择合适的推理定律 ;

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