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考研竞赛每日一练 day 7 一道考察极限加幂级数收敛域以及幂级数的性质的综合题

以及 每日 极限 竞赛 Day 一道 考研 性质
2023-06-13 09:13:16 时间

一道考察极限加幂级数收敛域以及幂级数的性质的综合题

已知

a_{1}=1

，

a_{n+1}=\sin a_{n}

，求幂级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})(x-1)^{n}

的收敛域

【分析】：首先根据

a_{n}

的递推关系，可以判断数列

a_{n}

收敛，且极限存在，再根据幂级数的收敛半径与收敛域的关系，利用已经得到的数列极限去算收敛半径，得出收敛域，但是在端点处单独讨论。

【解析】：数列

a_{n}

的有界性，利用归纳法，由于

0 < a_{1}=1 \leq 1

，假设

0 < a_{k} \leq 1

，利用递推关系有

0 < a_{k+1}=\sin a_{k} \leq 1

，所以数列

\{a_{n}\}

有界；而根据常见的不等关系有

a_{n+1}=\sin a_{n} \leq a_{n}

，所以数列单调递减。由单调有界准则有，数列极限是存在的，不妨设

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_{n}

为

a

，则有等式

a=\sin a

，所以解得

a=0

。

幂级数的收敛半径，根据定义有

\begin{align*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|\dfrac{\sin(a_{n+1}-a_{n+2})}{\sin(a_{n}-a_{n+1}) }|&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_{n+1}-a_{n+2}}{a_{n}-a_{n+1}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{\sin a_{n}-\sin a_{n+1}}{a_{n}-\sin a_{n+1}}\\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{\sin a_{n}-\sin(\sin a_{n})}{a_{n}-\sin a_{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{\cos a_{n}-\cos (\sin a_{n})\cdot\cos a_{n}}{1-\cos a_{n}}\\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{\cos a_{n}\cdot \frac{1}{2}\sin^2 a_{n}}{\frac{1}{2}a_{n}^2}=1\end{align*}

所以幂级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})(x-1)^{n}

的收敛半径为1，收敛区间为

(0,2)

；

当

x=2

时，

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})(x-1)^{n}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})

，而

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n-a_{n-1}

部分和为

S

，显然

S=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}1-a_{n+1}=1

，而

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})

和

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n-a_{n-1}

均是正项级数，且

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\sin(a_{n}-a_{n+1})}{a_{n}-a_{n+1}}=1

，所以

x=2

，原级数收敛；

同理，当

x=0

，

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})(x-1)^{n}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(a_n-a_{n-1})

，由前面知，

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})

是收敛的，所以

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(a_n-a_{n-1})

也是收敛的，即

x=0

，级数收敛。

综上所述，

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin(a_n-a_{n-1})(x-1)^{n}

的收敛域为

[0,2]

。

祝大家国庆快乐，希望我们的国家越来越好，大家一起加油！

作者：小熊

写作日期：10.1

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