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考研竞赛每日一练 day 41 利用中值定理以及数列极限的证明处理一道函数极限的综合题

处理 函数 利用 以及 每日 极限 竞赛 证明
2023-06-13 09:13:16 时间

利用中值定理以及数列极限的证明处理一道函数极限的综合题

设函数

f(x)

在

[0,1]

上连续且

f(0)=f(1)=0

， 在

(0,1)

内二阶可导且

f^{''} < 0

，记

M=\underset{0\leq x\leq 1}{\max}f(x) > 0

（1）证明对任意的正整数

n

，存在唯一的

x_{n}\in(0,1)

，使得

f^{'}(x_{n})=\dfrac{M}{n}

；（2）对（1）中得到的

\{x_{n}\}

，证明

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}

存在，且

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=M

分析：（1）可以利用构造函数的方法，再利用罗尔定理和零点定理构造条件证出等式；（2）可以利用利用单调有界准则证明极限存在。

解析：（1）由题意知，

f(x)

在

[0,1]

上取得最大值，记

x_{0}

为

[0,1]

上的最大值点，则

f(x_{0})=M

.构造函数

F(x)=f(x)-\dfrac{M}{n}x

，由于

n

是正整数，

0 < x_{0} <1

，所以

F(x_{0})=M-\dfrac{M}{n}x_{0} > 0

，而

F(1)=-\dfrac{M}{n} < 0

，由零点定理有

\exists \xi\in(x_{0},1)

上，使得

F(\xi)=0

；同时

F(0)=0

，根据罗尔定理，

\exists x_{n}\in(0,\xi)\subset(0,1)

内，使得

F^{'}(x_{n})=0

，即

f^{'}(x)=\dfrac{M}{n}

，同时

f^{''} < 0

，即

f^{'}(x)

单调递减，所以

x_{n}

唯一；

（2）根据拉格朗日中值定理有，

f^{'}(x_{n+1})-f^{'}(x_{n})=f^{''}(\lambda)(x_{n+1}-x_{n})

，其中

\lambda\in(x_{n},x_{n+1})

，变形得

x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{1}{f^{''}(\lambda)}(\dfrac{M}{n+1}-\dfrac{M}{n}) > 0

，而

x_{n} < 1

，即

\{x_{n}\}

单调递增有上界，所以

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}

存在；根据题意知

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f^{'}(x_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{M}{n}=0

，所以

f^{'}(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n})=0

，根据第一问知

f^{'}(x_{0})=0

，且导函数的零点唯一，所以

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=x_{0}

，所以

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=f(x_{0})=M

。

作者：小熊

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