拓展欧几里得算法

解不定方程 ax + by = c ，可以使用拓展欧几里得算法。

首先解 ax + by = \gcd (a,b) .

欧几里得算法

证明 \gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b) ：

设 a = g \times k_1 ， b = g \times k_2 ，其中 k_1,k_2 互质。

要证明 \gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b) ，即证 g = \gcd(g \times k_2, (g \times k_1 )\bmod (g \times k_2)) .

将 g 消去，即证 \gcd(k_2,k_1 \bmod k_2) = 1 .

假设有公因子 x ，则：

k_2 = x \times n_1 ， k_1 \bmod k_2 = x \times n_2 .

可以写出： k_1 = k \times k_2 + k_1 \bmod k_2 ，其中 k 为整数。

化简得出： k_1 = k \times (x \times n_1) + x \times n_2 ，则 k_1,k_2 有公因子 x ，而 k_1,k_2 应当互质，矛盾。

所以 \gcd(k_2,k_1 \bmod k_2) = 1 .

则 \gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b) .

拓展欧几里得算法

证明 ax + by = \gcd(a,b) 一定有解。 (a,b \neq 0) .

由上文结论，该式等价于：

bx + (a \bmod b)y = \gcd(b,a \bmod b) .

辗转相除，当 b = 0 时，方程为： ax = \gcd(a,b) = a ，即用欧几里得算法求最大公因数的最后一步。

有 x = 1,y = 0 .

向上还原，即可获得一组解。

拓展欧几里得算法用于求出 ax + by = \gcd(a,b) 的一组特解：

ax_1 + by_1 = \gcd(a,b) 可转化为：

bx_2 + (a \bmod b)y_2 = \gcd(b,a \bmod b) .

其中： \gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b) .

可以得到： ax_1 + by_1 = bx_2 + (a \bmod b)y_2 .

即： ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times b)y_2 .

展开、合并同类项得到： ax_1 + by_1 = ay_2 + b(x_2 - y_2 \times \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor)

即：

x_1 = y_2 ， y_1 = x_2 - y_2 \times \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor = x_2 - x_1 \times \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor .

可以据此写出拓展欧几里得算法。可以使用引用传值的技巧简化代码。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0) 
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= x * (a / b);
    return g;
}

此时回归到解 ax + by = c 的问题上来。若 \gcd(a,b) \mid c ，则原方程有整数解。

ax' + by' = \gcd(a,b) ，则：

若要得到任意组解呢？

记求出的特解为 x_0,y_0 .

ax + by = ax_0 + by_0 .

a(x - x_0) = b(y_0-y) .

\dfrac{a}{b} \times (x - x_0) = y_0 - y .

x - x_0 需要为整数，则 \dfrac{b}{\gcd(a,b)} \mid (x' - x_0') ，设为 x' - x_0' = \dfrac{b}{\gcd(a,b)} \times t .

可以写出：

x' = x_0' + \dfrac{b}{\gcd(a,b)} \times t

y' = y_0' - \dfrac{a}{\gcd(a,b)} \times t

由此即可求出任意解，再带回原式即可。

例如求 x' 的最小正整数解，可以发现 x' 任意加减 b 都是合法解，因此可以直接 ((x \bmod b) + b) \bmod b .

拓展欧几里得算法还可以用于求解线性同余方程。

形如 ax \equiv c \pmod{b} .

可以写成 ax + by = c ，随后按二元一次不定方程的方法求解即可。

例题：青蛙的约会

两只青蛙初始坐标为 x,y ，每次跳 m,n 米，定义相遇为模 L 意义下坐标相等，求一起跳跃多少次后相遇。

形式地， x + m \times t = y + n \times t \pmod L .

求 t 的最小正整数解。

套上板子即可。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define ll long long
ll sx, sy, m, n, L;
inline ll gcd(ll a, ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
inline void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
    if (b == 0) return (void)(x = 1, y = 0);
    exgcd(b, a % b, y, x), y -= (a / b) * x;
}
int main()
{
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &sx, &sy, &m, &n, &L);
    if(m - n < 0) std::swap(m,n),std::swap(sx,sy);
    ll g = gcd(m - n, L);
    ll a = m - n, b = L, x, y, c = sy - sx;
    if (c % g) { puts("Impossible"); return 0; }
    exgcd(a, b, x, y);
    x *= c / g, y *= c / g;
    ll mod = b / g;
    x = ((x % mod) + mod) % mod;
    printf("%lld\n", x);
    return 0;
}