算法系列15天速成——第十四天 图【上】

       今天来分享一下图，这是一种比较复杂的非线性数据结构，之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的，而不像树那样

被几个性质定理框住了，元素之间的关系还是比较明显的，图的使用范围很广的，比如网络爬虫，求最短路径等等，不过大家也不要胆怯，

越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。

       

      既然要学习图，得要遵守一下图的游戏规则。

一： 概念

       图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作：G=（V,E)；

1 无向图

       就是“图”中的边没有方向，那么（V1,V2)这条边自然跟（V2，V1）是等价的，无向图的表示一般用”圆括号“。

        

2 有向图

       “图“中的边有方向，自然 V1,V2 这条边跟 V2,V1 不是等价的，有向图的表示一般用"尖括号"表示。

              

3 邻接点

             一条边上的两个顶点叫做邻接点，比如（V1，V2），（V1，V3），（V1，V5），只是在有向图中有一个“入边，出边“的

       概念，比如V3的入边为V5，V3的出边为V2，V1，V4。

 

4 顶点的度

          这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种，这个相信大家懂的。

 

5 完全图

         每两个顶点都存在一条边，这是一种完美的表现，自然可以求出边的数量。

        无向图：edges=n(n-1)/2;

        有向图：edges=n(n-1);           //因为有向图是有边的，所以必须在原来的基础上"X2"。

       

6 子图

        如果G1的所有顶点和边都在G2中，则G1是G2的子图，具体不说了。

 

7 路径，路径长度和回路（这些概念还是比较重要的）

       路径：        如果Vm到Vn之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。

       路径长度：  一条路径中“边的数量”。

       简单路径：  若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。

       回路：       若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。

       简单回路：  第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

 

8 连通图和连通分量（针对无向图而言的）

       连通图：     无向图中，任意两个顶点都是连通的则是连通图，比如V1，V2，V4之间。

       连通分量：  无向图的极大连通子图就是连通分量，一般”连通分量“就是”图“本身，除非是“非连通图”，

                       如下图就是两个连通分量。

            

9 强连通图和强连通分量（针对有向图而言）

        这里主要注意的是“方向性“，V4可以到V3，但是V3无法到V4，所以不能称为强连通图。

       

10 网

        边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊，呵呵。

 

二：存储

     图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。

     邻接矩阵： 手法是采用两个数组，一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息，

                    缺点就是比较耗费空间。

     邻接表：   改进后的“邻接矩阵”，缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相比节省空间。

 

三： 创建图

     这里我们就用邻接矩阵来保存图，一般的操作也就是：①创建，②遍历

#region 邻接矩阵的结构图

 /// summary 

/// 邻接矩阵的结构图

/// /summary 

 public class MatrixGraph

 //保存顶点信息

 public string[] vertex;

 //保存边信息

 public int[,] edges;

 //深搜和广搜的遍历标志

 public bool[] isTrav;

 //顶点数量

 public int vertexNum;

 //边数量

 public int edgeNum;

 //图类型

 public int graphType;

 /// summary 

/// 存储容量的初始化

/// /summary 

/// param name="vertexNum" /param 

/// param name="edgeNum" /param 

/// param name="graphType" /param 

 public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)

 this.vertexNum = vertexNum;

 this.edgeNum = edgeNum;

 this.graphType = graphType;

 vertex = new string[vertexNum];

 edges = new int[vertexNum, vertexNum];

 isTrav = new bool[vertexNum];

 #endregion

1 创建图很简单，让用户输入一些“边，点，权值"来构建一下图

#region 图的创建

 /// summary 

/// 图的创建

/// /summary 

/// param name="g" /param 

 public MatrixGraph CreateMatrixGraph()

 Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");

 var initData = Console.ReadLine().Split(,).Select(i = int.Parse(i)).ToList();

 MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);

 Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");

 var single = Console.ReadLine();

 //顶点信息加入集合中

 graph.vertex[i] = single;

 Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");

 for (int i = 0; i graph.edgeNum; i++)

 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");

 initData = Console.ReadLine().Split(,).Select(j = int.Parse(j)).ToList();

 int start = initData[0];

 int end = initData[1];

 int weight = initData[2];

 //给矩阵指定坐标位置赋值

 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;

 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称

 if (graph.graphType == 1)

 graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;

 return graph;

 #endregion

2 广度优先

      针对下面的“图型结构”，我们如何广度优先呢？其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多

次访问，可以将”顶点的下标”存放在sTrav[]的bool数组，用来标识是否已经访问过该节点。  

    第一步：首先我们从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。

    第二步：访问V1的邻接点V2，V3，V5，并将这三个节点标记为true。

    第三步：第二步结束后，我们开始访问V2的邻接点V1，V3，但是他们都是被访问过的。

    第四步：我们从第二步结束的V3出发访问他的邻接点V2，V1，V5，V4，还好V4是未被访问的，此时标记一下。

    第五步：我们访问V5的邻接点V1，V3，V4，不过都是已经访问过的。

    第六步：有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-5）的步骤就可以最终完成广度优先遍历。

                

#region 广度优先

 /// summary 

/// 广度优先

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)

 //访问标记默认初始化

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 graph.isTrav[i] = false;

 //遍历每个顶点

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 //广度遍历未访问过的顶点

 if (!graph.isTrav[i])

 BFSM(ref graph, i);

 /// summary 

/// 广度遍历具体算法

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)

 //这里就用系统的队列

 Queue int queue = new Queue int 

 //先把顶点入队

 queue.Enqueue(vertex);

 //标记此顶点已经被访问

 graph.isTrav[vertex] = true;

 //输出顶点

 Console.Write(" - " + graph.vertex[vertex]);

 //广度遍历顶点的邻接点

 while (queue.Count != 0)

 var temp = queue.Dequeue();

 //遍历矩阵的横坐标

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 if (!graph.isTrav[i] graph.edges[temp, i] != 0)

 graph.isTrav[i] = true;

 queue.Enqueue(i);

 //输出未被访问的顶点

 Console.Write(" - " + graph.vertex[i]);

 #endregion

3 深度优先

        同样是这个图，大家看看如何实现深度优先，深度优先就像铁骨铮铮的好汉，遵循“能进则进，不进则退”的原则。

        第一步：同样也是从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。

        第二步：然后一直访问V1的邻接点，一直到走头无路的时候“回溯”，路线为V1,V2,V3,V4,V5，到V5的时候访问邻接点V1，发现V1是访问过的，

                   此时一直回溯的访问直到V1。

        第三步： 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-2）的步骤就可以最终完成深度优先遍历。

              

#region 深度优先

 /// summary 

/// 深度优先

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)

 //访问标记默认初始化

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 graph.isTrav[i] = false;

 //遍历每个顶点

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 //广度遍历未访问过的顶点

 if (!graph.isTrav[i])

 DFSM(ref graph, i);

 #region 深度递归的具体算法

 /// summary 

/// 深度递归的具体算法

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

/// param name="vertex" /param 

 public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)

 Console.Write("- " + graph.vertex[vertex]);

 //标记为已访问

 graph.isTrav[vertex] = true;

 //要遍历的六个点

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 if (graph.isTrav[i] == false graph.edges[vertex, i] != 0)

 //深度递归

 DFSM(ref graph, i);

 #endregion

 #endregion

 

最后上一下总的代码

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

namespace MatrixGraph

 public class Program

 static void Main(string[] args)

 MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();

 //创建图

 MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();

 manager.OutMatrix(graph);

 Console.Write("广度递归:\t");

 manager.BFSTraverse(graph);

 Console.Write("\n深度递归:\t");

 manager.DFSTraverse(graph);

 Console.ReadLine();

 #region 邻接矩阵的结构图

 /// summary 

/// 邻接矩阵的结构图

/// /summary 

 public class MatrixGraph

 //保存顶点信息

 public string[] vertex;

 //保存边信息

 public int[,] edges;

 //深搜和广搜的遍历标志

 public bool[] isTrav;

 //顶点数量

 public int vertexNum;

 //边数量

 public int edgeNum;

 //图类型

 public int graphType;

 /// summary 

/// 存储容量的初始化

/// /summary 

/// param name="vertexNum" /param 

/// param name="edgeNum" /param 

/// param name="graphType" /param 

 public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)

 this.vertexNum = vertexNum;

 this.edgeNum = edgeNum;

 this.graphType = graphType;

 vertex = new string[vertexNum];

 edges = new int[vertexNum, vertexNum];

 isTrav = new bool[vertexNum];

 #endregion

 /// summary 

/// 图的操作类

/// /summary 

 public class MatrixGraphManager

 #region 图的创建

 /// summary 

/// 图的创建

/// /summary 

/// param name="g" /param 

 public MatrixGraph CreateMatrixGraph()

 Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");

 var initData = Console.ReadLine().Split(,).Select(i = int.Parse(i)).ToList();

 MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);

 Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");

 var single = Console.ReadLine();

 //顶点信息加入集合中

 graph.vertex[i] = single;

 Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");

 for (int i = 0; i graph.edgeNum; i++)

 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");

 initData = Console.ReadLine().Split(,).Select(j = int.Parse(j)).ToList();

 int start = initData[0];

 int end = initData[1];

 int weight = initData[2];

 //给矩阵指定坐标位置赋值

 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;

 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称

 if (graph.graphType == 1)

 graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;

 return graph;

 #endregion

 #region 输出矩阵数据

 /// summary 

/// 输出矩阵数据

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void OutMatrix(MatrixGraph graph)

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 for (int j = 0; j graph.vertexNum; j++)

 Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");

 //换行

 Console.WriteLine();

 #endregion

 #region 广度优先

 /// summary 

/// 广度优先

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)

 //访问标记默认初始化

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 graph.isTrav[i] = false;

 //遍历每个顶点

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 //广度遍历未访问过的顶点

 if (!graph.isTrav[i])

 BFSM(ref graph, i);

 /// summary 

/// 广度遍历具体算法

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)

 //这里就用系统的队列

 Queue int queue = new Queue int 

 //先把顶点入队

 queue.Enqueue(vertex);

 //标记此顶点已经被访问

 graph.isTrav[vertex] = true;

 //输出顶点

 Console.Write(" - " + graph.vertex[vertex]);

 //广度遍历顶点的邻接点

 while (queue.Count != 0)

 var temp = queue.Dequeue();

 //遍历矩阵的横坐标

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 if (!graph.isTrav[i] graph.edges[temp, i] != 0)

 graph.isTrav[i] = true;

 queue.Enqueue(i);

 //输出未被访问的顶点

 Console.Write(" - " + graph.vertex[i]);

 #endregion

 #region 深度优先

 /// summary 

/// 深度优先

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

 public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)

 //访问标记默认初始化

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 graph.isTrav[i] = false;

 //遍历每个顶点

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 //广度遍历未访问过的顶点

 if (!graph.isTrav[i])

 DFSM(ref graph, i);

 #region 深度递归的具体算法

 /// summary 

/// 深度递归的具体算法

/// /summary 

/// param name="graph" /param 

/// param name="vertex" /param 

 public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)

 Console.Write("- " + graph.vertex[vertex]);

 //标记为已访问

 graph.isTrav[vertex] = true;

 //要遍历的六个点

 for (int i = 0; i graph.vertexNum; i++)

 if (graph.isTrav[i] == false graph.edges[vertex, i] != 0)

 //深度递归

 DFSM(ref graph, i);

 #endregion

 #endregion

}

代码中我们构建了如下的“图”。

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数据结构与算法——图论基础与图存储结构 | 算法必看系列三十一 图是数据结构中重要内容。相比于线性表与树，图的结构更为复杂。在线性表的存储结构中，数据直接按照前驱后继的线性组织形式排列。在树的结构中，数据节点以层的方式排列，节点与节点之间是一种层次关系。但是，在图的结构中数据之间可以有任意关系，这就使得图的数据结构相对复杂。