DBSCAN聚类算法原理及其实现

DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）聚类算法，它是一种基于高密度连通区域的、基于密度的聚类算法，能够将具有足够高密度的区域划分为簇，并在具有噪声的数据中发现任意形状的簇。我们总结一下DBSCAN聚类算法原理的基本要点：

DBSCAN算法需要选择一种距离度量，对于待聚类的数据集中，任意两个点之间的距离，反映了点之间的密度，说明了点与点是否能够聚到同一类中。由于DBSCAN算法对高维数据定义密度很困难，所以对于二维空间中的点，可以使用欧几里德距离来进行度量。 DBSCAN算法需要用户输入2个参数：一个参数是半径（Eps），表示以给定点P为中心的圆形邻域的范围；另一个参数是以点P为中心的邻域内最少点的数量（MinPts）。如果满足：以点P为中心、半径为Eps的邻域内的点的个数不少于MinPts，则称点P为核心点。 DBSCAN聚类使用到一个k-距离的概念，k-距离是指：给定数据集P={p(i); i=0,1,…n}，对于任意点P(i)，计算点P(i)到集合D的子集S={p(1), p(2), …, p(i-1), p(i+1), …, p(n)}中所有点之间的距离，距离按照从小到大的顺序排序，假设排序后的距离集合为D={d(1), d(2), …, d(k-1), d(k), d(k+1), …,d(n)}，则d(k)就被称为k-距离。也就是说，k-距离是点p(i)到所有点（除了p(i)点）之间距离第k近的距离。对待聚类集合中每个点p(i)都计算k-距离，最后得到所有点的k-距离集合E={e(1), e(2), …, e(n)}。 根据经验计算半径Eps：根据得到的所有点的k-距离集合E，对集合E进行升序排序后得到k-距离集合E’，需要拟合一条排序后的E’集合中k-距离的变化曲线图，然后绘出曲线，通过观察，将急剧发生变化的位置所对应的k-距离的值，确定为半径Eps的值。 根据经验计算最少点的数量MinPts：确定MinPts的大小，实际上也是确定k-距离中k的值，DBSCAN算法取k=4，则MinPts=4。 另外，如果觉得经验值聚类的结果不满意，可以适当调整Eps和MinPts的值，经过多次迭代计算对比，选择最合适的参数值。可以看出，如果MinPts不变，Eps取得值过大，会导致大多数点都聚到同一个簇中，Eps过小，会导致一个簇的分裂；如果Eps不变，MinPts的值取得过大，会导致同一个簇中点被标记为离群点，MinPts过小，会导致发现大量的核心点。

我们需要知道的是，DBSCAN算法，需要输入2个参数，这两个参数的计算都来自经验知识。半径Eps的计算依赖于计算k-距离，DBSCAN取k=4，也就是设置MinPts=4，然后需要根据k-距离曲线，根据经验观察找到合适的半径Eps的值，下面的算法实现过程中，我们会详细说明。
对于算法的实现，首先我们概要地描述一下实现的过程：

解析样本数据文件 计算每个点与其他所有点之间的欧几里德距离 计算每个点的k-距离值，并对所有点的k-距离集合进行升序排序，输出的排序后的k-距离值 将所有点的k-距离值，在Excel中用散点图显示k-距离变化趋势 根据散点图确定半径Eps的值 根据给定MinPts=4，以及半径Eps的值，计算所有核心点，并建立核心点与到核心点距离小于半径Eps的点的映射 根据得到的核心点集合，以及半径Eps的值，计算能够连通的核心点，并得到离群点 将能够连通的每一组核心点，以及到核心点距离小于半径Eps的点，都放到一起，形成一个簇 选择不同的半径Eps，使用DBSCAN算法聚类得到的一组簇及其离群点，使用散点图对比聚类效果

然后，再详细描述聚类过程的具体实现。

计算欧几里德距离

我们使用的样本数据，来自一组经纬度坐标数据，数据文件格式类似如下所示：

116.389463 39.87194
return this.x.doubleValue() == other.x.doubleValue() this.y.doubleValue() == other.y.doubleValue();

我们可以将解析后的点的对象放到一个List Point2D allPoints集合里面，以便后续使用时迭代集合。在计算两点之间的欧几里德距离时，需要迭代前面生成的Point2D的集合，计算欧几里德距离，实现方法如下所示：

public static double euclideanDistance(Point2D p1, Point2D p2) {

如果需要，可以将计算的所有点之间的距离缓存，因为计算k-距离需要多次访问点的欧几里德距离，比如，可以使用Guava库中的Cache工具：

Cache Set Point2D , Double distanceCache =

上面代码中，设置缓存容纳足够多（Integer.MAX_VALUE）的对象，将计算出的全部的欧几里德距离放在内存中，便于后续迭代时重用。

计算k-距离

每个点都要计算k-距离，在计算一个点的k-距离的时候，首先要计算该点到其他所有点的欧几里德距离，按照距离升序排序后，选择第k小的距离作为k-距离的值，实现代码如下所示：

Task task = q.poll(); // 从队列q中取出一个Task，就是计算一个点的k-距离的任务
final TreeSet Double sortedDistances = Sets.newTreeSet(new Comparator Double () { // 创建一个降序排序TreeSet
Double distance = distanceCache.getIfPresent(set); // 从缓存中取出欧几里德距离（可能不存在）
p1.kDistance = sortedDistances.iterator().next(); // 此时，TreeSet中最大的，就是第k最小的距离

上述代码中，KPoint2D类是Point2D的子类，不过比基类Point2D多了一个k-距离的属性，代码如下所示：

private class KPoint2D extends Point2D {

绘制k-距离曲线，寻找半径Eps

x轴坐标点我们直接使用递增的自然数序列，每个点对应一个自然数，y轴就是所有点的k-距离的大小，我们在代码中可以进行处理，实现如下：

for(int i=0; i allPoints.size(); i++) {

我们把输出数据复制到Excel表格中，使用上述数据生成散点图，基于x坐标取了4个不同的范围，观察曲线的变化情况，0~2600、0~2000、2001~2630、0~2500各个x坐标范围内的点，对应的散点图分别如下所示：

通过上图可以看出：

左上图（0~2600）：由于x=2500之后店的k-距离变化太快（可以忽略），导致前面点的k-距离的变化趋势无法观察出来。 右上图（0~2000）：去掉尾部的一些点的k-距离，可以看出曲线的变化趋势。 左下图（2001~2630）：x坐标轴后半部分的距离的变化趋势。 右下图（0~2500）：去掉尾部一些k-距离点，展示大部分k-距离点的变化趋势。

综合上面4个图，可以选择得到半径Eps的范围大致在0.002~0.006之间，已知MinPts=4，具体我们可以选择下面3个k-距离的值作为半径Eps：

0.0025094814205335555

通过下一步进行聚类，看一下使用选择的Eps的这几个值进行聚类的效果对比。另外，对半径Eps=8也进行聚类，主要是为了看一下半径变化对聚类效果的影响。

计算核心点

聚类过程需要知道半径Eps，半径已知，首先需要计算有哪些核心点，给定点，如果以该点为中心半径为Eps的邻域内的其他点的数量大于等于MinPts，则该点就为核心点。计算核心点的实现代码如下所示：

Point2D p1 = taskQueue.poll();
if(set.size() = minPts) { // 计算收集到的邻域内的点的个数，小于等于MinPts，则加入到映射表Map Point2D, Set Point2D corePointWithNeighbours中
if(!outliers.contains(p1)) { // 这里，会把一些点错误地加入到离群点集合outliers中，后面会进行修正

那些被错误放入离群点集合的点，需要在计算核心点完成之后，遍历离群点集合，与核心点集合（及其对应的映射点集合）进行比对，代码如下所示：

// process outliers

连通核心点生成簇

核心点能够连通（有些书籍中称为：“密度可达”），它们构成的以Eps长度为半径的圆形邻域相互连接或重叠，这些连通的核心点及其所处的邻域内的全部点构成一个簇。假设MinPts=4，则连通的核心点示例，如下图所示：

假设MinPts=4，上图中存在两个簇，每个簇都是通过核心点连通在一起的，每个簇是由连通的核心点及其核心点半径Eps圆形邻域内的点组成的，在这两个簇所覆盖的范围外部的点，都是离群点（Outliers）。
计算连通的核心点的思路是，基于广度遍历与深度遍历集合的方式：从核心点集合S中取出一个点p，计算点p与S集合中每个点（除了p点）是否连通，可能会得到一个连通核心点的集合C1，然后从集合S中删除点p和C1集合中的点，得到核心点集合S1；再从S1中取出一个点p1，计算p1与核心点集合S1集中每个点（除了p1点）是否连通，可能得到一个连通核心点集合C2，再从集合S1中删除点p1和C2集合中所有点，得到核心点集合S2，……最后得到p、p1、p2、……，以及C1、C2、……就构成一个簇的核心点。最终将核心点集合S中的点都遍历完成，得到所有的簇。具体代码实现，如下所示：

// join connected core points

上面调用了重载的两个方法joinConnectedCorePoints，分别根据参数不同计算连通的核心点集合：计算核心点集合中一个点，与该核心点集合中其它的所有核心点是否连通，调用如下方法：

private Set Point2D joinConnectedCorePoints(Point2D p1, Set Point2D leftCorePoints) {

还有一个方法是，上面第一个参数变为一个集合，它调用上面的方法处理每一个点，方法代码实现如下所示：

private Set Point2D joinConnectedCorePoints(Set Point2D connectedPoints, Set Point2D leftCorePoints) {

最后，集合clusteredPoints存储的就是聚类后的核心点的信息，再根据核心点到其邻域内半径小于等于Eps的点的集合的映射，就能将所有的点生成聚类了。

聚类效果比较

选择不同的半径Eps进行聚类分析， 聚类的结果也不相同，有些情况下差异很大，有些情况差异较小。比如，在MinPts=4的情况下，如何绘制k-距离曲线，已经在前面详细说明了处理过程，我们根据k-距离趋势增长曲线，选择了一组半径Eps的值，执行DBSCAN聚类算法，下面我们比较在MinPts=4和MinPts=8的情况下，再分别选择不同的半径Eps，执行DBSCAN聚类算法生成簇，对分布情况进行对比。

参数：MinPts=4

选择半径Eps的值分别为如下3个观察值：

0.0025094814205335555

最终得到的聚类效果图在下面可以看到，其中，左侧为没有离群点的情况各个簇的分布情况，右侧是将离群点全部加入到图上显示，图中图例中的9999表示离群点，其他的都是聚类生成的簇，如下图所示：

通过上图可以看出，半径Eps选择的较小时，会产生大量的离群点，其实我们想一下，半径小了，自然落在某个点的邻域内的点减少的可能性就增加了，导致很多点可能就无法成为核心点，自然也就无法成为某个簇的点，而且很生成的簇包含的点的数量都比较少，某些本来很接近的点应该可以成为同一个簇，但是被分裂了。
当半径比较大一些时，生成的一个簇包含了比较多的点，而且这个簇的形状中间可能出现一些“空洞”，因为点之间的距离大一些也能满足成为核心点的要求，所以这些点聚到一簇中可能确实比较合理。

参数：MinPts=8

选择半径Eps的值分别为如下3个观察值：

0.004900098978598581

使用我们实现的DBSCAN聚类算法进行分析处理，得到的聚类结果，如下图所示：

总结

因为DBSCAN聚类算法，是基于密度的聚类算法，所以对于密度分别不均，各个簇的密度变化较大时，可能会导致一些问题：比如半径Eps较大时，本来不属于同一个的簇的点被聚到一个簇中；比如半径Eps比较小时，会出现大量比较小的簇（即每个簇中含有的点不较少，但是这些点组成的小簇密度确实很大），同时出现了大量的点不满足成为核心点的要求，MinPts越大越容易出现这种情况。
DBSCAN聚类算法的思想非常明确易懂，虽然需要用户输入2个参数，但是正是输入参数的灵活性，我们可以根据自己实际应用的需要，适当调整参数值，在特定应用场景下进行聚类分析，得到合适的簇划分。通过上面选择不同参数进行聚类的结果对比，如果希望局部比较密集的点都能够生成簇，那么在固定MinPts的值的条件下，半径Eps通过调整变小，可能达到这一需要，产生的簇的数量比较多，但是同时也产生了大量分散的离群点，实际上应该可以进行二次聚类，将离群点也通过合适的方式归到指定的簇中；如果希望生成全局比较大的簇，可以适当调整半径Eps变大，生成的簇的数量较少，离群点的数量也相对较少。

KNN最近邻算法 最近邻算法是一种基于实例的学习，或者是局部近似和将所有计算推迟到分类之后的惰性学习，可以用于基本的**分类与回归方法**。
聚类算法简单总结 在无监督学习中，目标是通过对无标记训练样本的学习来揭示数据的内在性质及规律。在这类任务中，常用的算法是聚类(cluster)算法。聚类算法试图将样本划分为若干个通常是不相交的子集，每个子集表明一个簇，也叫类别，通过这样的操作，可以将无规律的样本划分为一堆堆的样本子集合。