数学建模（6）-DNA限制性图谱的绘制
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DNA限制性图谱的绘制
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绘制DNA限制性图谱是遗传生物学中的重要问题。由于DNA分子很长，目前的实验技术无法对其进行直接测量，所以生物学家们需要把DNA分子切开，一段一段的来测量。在切开的过程中，DNA片段在原先DNA分子上的排列顺序丢失了，如何找回这些片段的排列顺序是一个关键问题。
为了构造一张限制性图谱，生物学家用不同的生化技术获得关于图谱的间接的信息，然后采用组合方法用这些数据重构图谱。一种方法是用限制性酶来消化DNA分子。这些酶在限制性位点把DNA链切开，每种酶对应的限制性位点不一样。对于每一种酶，每个DNA分子可能有多个限制性位点，此时可以按照需要来选择切开某几个位点（不一定连续）。DNA分子被切开后，得到的每个片段的长度就是重构这些片段的原始顺序的基本信息。在多种获取这种信息的实验方法中，有一种广泛采用的方法：部分消化（the partial digest, PDP）方法。
在PDP中，采用一种酶，通过实验得到任意两个限制性位点之间片段的长度。假设与使用的酶对应的限制性位点有n个， 通过大量实验，可得到n+2个点（n个位点加上两个端点）中任意两点之间的距离，共 ?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" / 个值。然后用这个距离来重构n个限制性位点的位置(解不一定唯一，两个端点对应于最长的距离)。若是线段上的点集中所有点之间距离的集合，PDP就是给定求。下图给出了一个例子。
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???????? 2??????? 3?????????? 4???????????? 5???? ???????2
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???????
?A?????? a????????? b??????????? c?????????????? d?????? B
图1.?? A,B是DNA分子的两个端点。 a，b，c和d是限制性位点。? 通过实验可以得到 ={2,3,4,5,2,5,9,14,16,7,12,14,9,11,7}. 再通过来求，对应于上图的={0,2,5,9,14,16}是一种解。
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上述方法要把DNA分子在任意的两个限制性位点处切开，这对于当前的实验技术来说有相当难度，而且，还要对实验数据进行处理，也很复杂。最近研究人员提出了一种新的方法，称为简化的部分消化方法（SPDP）。这个方法与PDP的不同就在于它避免了在任意两个位点切开DNA分子的难题和处理重复数据的困难。仍假设与使用的酶对应的限制性位点有n个。首先DNA分子被复制成n+1份，前n个复制品中的每一个在一个限制性位点处被切开，最后一个复制品在所有的限制性位点处被切开。这样我们分别得到2n个片段长度（称为第一组数据）和n+1个片段长度（称为第二组数据）。在没有误差的前提下，第一组数据中2n个长度可以分成n对，每对的和都等于DNA分子的总长度；第二组数据中n+1个长度的和也等于DNA分子的总长度。 SPDP问题是如何利用这两组数据重构出这n+1个片段在DNA分子上的排列，使得这个排列在n个位点切开后得到的2n个片段长度与实验得到的2n个长度相等。下图给出了一个例子。
?(a)
2?????? 6???????? 1?????? 4?????? 3
?
(b)
?????????? 2?????????????????? 14
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???????????????? 8????????????????? 8
?
???????????????? 9??????????????????? 7
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???????????????????? 13??????????????????? 3
?
?????????
2???? 1???????? 4?????????? 3????????????? 6
?
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图2.? 这个例子对应的位点有4个。(a) 就是我们希望重构的顺序。 (b)中的前4对为第一组数据，它通过切开一个位点得到，每对长度的和都是16，剩下的为第二组数据，含5个片段长度，它通过切开所有位点得到，它们的长度总和也是16， 但实验结果只告知每段的长度，不知道它们在DNA分子上的排列顺序。
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现对上述SPDP问题，建立数学模型，并研究以下问题：
（1）???? 设计求解该问题的算法， 并评估该算法的效率和效果。对下述2个实例给出答案：
实例1： 第一组数据：2，14，8，8，9，7，13，3
第二组数据：2，1，4，3，6
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实例2:? 第一组数据：1，14，12，3，7，8，9，6，11，4，12，3，13，2，5，10
第二组数据：1，1，2，1，2，2，1，2，3
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（2）??? 讨论在实验中测量片段长度时的误差，将在多大程度上影响算法的效果，当误差到多大程度时，限制性图谱的重构将无法进行。
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