有限背包计数问题

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题目大意

给你一个大小为 n 的背包，然后有 1~n 大小的物品，大小为 i 的有 i 个，然后问你有多少中方案可以恰好装满背包。

思路

首先考虑朴素的背包，那我们可以用枚举取模的结果来做到 $O(nm)$（$n$ 是容量 $m$ 是物品数）

那我们其实会发现一个性质，就是当一个物品它的大小 $>\sqrt{n}$ 的时候，它其实是可以相当于是没有个数限制的！
（因为你所有数放进去一定会大于等于 $n$）
所以我们可以用类似根号分治，把它分成两部分，分别求出 $f_i,g_i$ 表示前面部分和后面部分选一些占了 $i$ 个空间的方案数，然后 $\sum f_i\ast g_{n-j}$ 就是答案。

那接着看这两个怎么求：
前面的部分只有 $\sqrt{n}$ 个，可以直接朴素背包，复杂度为 $O(n\sqrt{n})$。
后面的部分我们会发现每个的大小都是 $\sqrt{n}$ 以上，那最多就只会选 $\sqrt{n}$ 个数！
那我们可以根据这个来 DP，设 $f_{i,j}$ 为选了 $i$ 个数大小和是 $j$ 的方案数。（然后到时把 $\sum _x{f}_{x,i}$ 就是 $g_i$）
但是我们似乎还是不可以直接枚举下一个放的数啊。
考虑到它这个就是类似于一个整数拆分，我们可以弄出一个表，每一列的长度代表每次选的数的大小。
那我们这里是一列一列考虑，我们不妨试试一行一行？（毕竟只有 $\sqrt{n}$ 行）

那其实这时候就不难想到想法了，我们考虑这么一个分类：
要么是给之前的每一列都长度加一，就是加一行。
要么就是新放一个数，那这个数肯定是至少要 $\sqrt{n}+1$，也就是加一列。
（不难看出这样肯定是不重不漏的awa）

然后就可以啦。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 23333333

using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;
int n, B;
int f[N], g[N], ans, F[320][N];

int jia(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int jian(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
int cheng(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}

void work1() {
	F[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= B; i++) {
		for (int S = 0; S < i; S++) {
			int l = 0; ll now = 0;
			for (int j = 0; S + i * j <= n; j++) {
				while (j - l > i) now = jian(now, F[i - 1][S + i * l]), l++;
				now = jia(now, F[i - 1][S + i * j]); F[i][S + i * j] = now;
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		f[i] = F[B][i];
	for (int i = 0; i <= B; i++)
		for (int j = 0; j <= n; j++) F[i][j] = 0;
}

void work2() {
	F[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= B; i++)
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			if (j - (B + 1) >= 0) F[i][j] = jia(F[i][j] , F[i - 1][j - (B + 1)]);
			if (j - i >= 0) F[i][j] = jia(F[i][j], F[i][j - i]);
		}
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= B; j++)
			g[i] = jia(g[i], F[j][i]);
	for (int i = 0; i <= B; i++)
		for (int j = 0; j <= n; j++) F[i][j] = 0;
}

int main() {
	scanf("%d", &n); B = sqrt(n);
	
	work1(); work2();
	
	for (int i = 0; i <= n; i++) ans = jia(ans, cheng(f[i], g[n - i]));
	printf("%d", ans);
	
	return 0;
}