为什么梯度指向函数上升最快的方向
函数 为什么 方向 梯度 最快 指向 上升
2023-09-27 14:20:51 时间
先来回顾一下什么是梯度:
对多元函数的参数求偏导数,把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来,就是梯度 。
接下来看一下什么是导数和偏导数:
我们知道,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的变化率。而偏导数涉及到至少两个自变量,因此,从导数到偏导数,就是从曲线变成了曲面。曲线上某一点的切线只有一条,但是曲面上某一点的切线却有无数条。
这就牵出了方向导数的概念:如果函数f在某点(x,y)是可微分的,那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有(其中l为轴到方向的转角)。这就是说,函数在曲面上某点的变化率是有方向的。
那么,为什么说梯度指向函数上升最快的方向呢?答案是:这就是梯度的定义。
首先来证明方向导数:
假设函数在点可微分,那么函数的增量可以表达为:,
两边各除以ρ,得到:
所以:
这就证明了方向导数存在且其值为。
令向量,方向l的向量为,因此:。当n与l同向时,便能取得最大的方向导数,我们称n为f在该点的梯度。方向导数最大,也就是说n的模最大,函数f朝l方向的变化率最大。因此,从几何意义上讲,梯度指向函数增加最快的方向。
总结来说:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。
参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/39358503
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