例子：最短路径问题。

下图中，连接两个节点的线段上标注着节点间的距离，请问A到D点的最短距离是多少？

静态规划

有一个很简单的思路，穷举所有可能的途径，从中选择最短的一条。这个方法的缺点是速度慢，因为问题规模较大时，穷举全部路径要面临一个天文数字的计算量。

当然这种方法也有优点，在穷举过程中，我们始终保存着一个可行解。如果不愿意继续计算，停止计算后，总能得到一个不算太差的可行解，运气好的话可能就是最优解。如果以后有时间了，想接着进行穷举，理论上也是可以的。这种方法，从一个或多个可行解开始，通过不断迭代对现有可行解优化，最后得到最优解。这种方法称为静态规划。

线性规划的单纯性解法，是一种静态规划方法。首先生成线性规划的一个可行解，然后不断迭代优化可行解，最后得到最优解。在迭代计算过程中，始终保持一个可行解或近优解，这是静态优化的一个显著特征。

忽然想起了机器学习里面有一种所谓的在线式学习方法，大概也是按照这个模式去寻找模型最优解的。比如各种神经网络模型求解过程应该都属于这类静态划问题。

当然，上面这个问题如果用静态规划的路子求解，可以穷举所有可能的途径，从中选择最短的一条。如果问题规模比较大，采用穷举的方法性能就太差了，所以才会考虑其他更好的方法。动态规划就是出于这样一种考虑被发明出来了。

动态规划

前面的问题求解可以分成 A->B，B->C，C->D 三个阶段完成。采用拆分的方法，把问题分解成多个相互联系的单阶段问题，通过求解每个单阶段问题，完成问题求解。这种方法称为动态规划。

前面的问题比较简单，我们很容易用手工标出从A点出发到各个节点的最短距离，参见下图。

如果我们用F(X)表示节点X到A点的最短距离，很明显

F(D) = min( F(C1)+2, F(C2)+1, F(C3)+3 )

在动态规划问题中，F(X)称为状态，上述状态关系式称为状态转移方程。在上式中，F(D)的求解问题归结为了F(C1)、F(C2)、FC3)三个子问题。同样，可以得到：

F(C2) = min( F(B1)+3, F(B2)+1 ）

状态转移

动态规划的关键就是确定状态转移方程，所谓状态实质上就是动态规划的子问题。动态规划的解决方法，是利用状态转移方程把问题归结的子问题求解。换句话讲，把最终状态的求解归结为其他状态的求解，这大概是状态转移的要表达的含义。

穷举状态 vs 穷举路径

动态规划真正的威力在于它的高效率。状态转移模型中，状态的数量远远少于状态转移路径的数量。采用传统的搜索算法暴力穷举每条路径，算法复杂度远远高于遍历状态节点。