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Maximum splitting（规律，数论）

maximum 数论 规律
2023-09-11 14:22:48 时间

You are given several queries. In the i-th query you are given a single positive integer ni. You are to represent ni as a sum of maximum possible number of composite summands and print this maximum number, or print -1, if there are no such splittings.

An integer greater than 1 is composite, if it is not prime, i.e. if it has positive divisors not equal to 1 and the integer itself.

Input

The first line contains single integer q (1 ≤ q ≤ 105) — the number of queries.

q lines follow. The (i + 1)-th line contains single integer ni (1 ≤ ni ≤ 109) — the i-th query.

Output

For each query print the maximum possible number of summands in a valid splitting to composite summands, or -1, if there are no such splittings.

Example

Input
1
12
Output
3
Input
2
6
8
Output
1
2
Input
3
1
2
3
Output
-1
-1
-1

Note

12 = 4 + 4 + 4 = 4 + 8 = 6 + 6 = 12, but the first splitting has the maximum possible number of summands.

8 = 4 + 4, 6 can't be split into several composite summands.

1, 2, 3 are less than any composite number, so they do not have valid splittings.

 

题意给你一个数让你算出，这个数最多能由多少个合数组成，这里首先要明确什么是合数

合数的定义：

数学用语，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。"0"“1”既不是质数也不是合数。

合数素数

折叠概念

除了2之外，所有的偶数都是合数。反之，除了2之外，所有的素数都是奇数。但是奇数包括了合数和素数。合数根和素数根的概念就是用来区分任何一个大于9的奇数属于合数还是素数。任何一个奇数都可以表示为2n+1(n是非0的自然数)。我们将n命名为数根。当2n+1属于合数时，我们称之为合数根；反之，当2n+1是素数时，我们称之为素数根。

折叠规律

任何一个奇数，如果它是合数，都可以分解成两个奇数的乘积。设2n+1是一个合数，将它分解成两个奇数2a+1和2b+1的积(其中a、b都属于非0的自然数)，则有

2n+1=(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=2(2ab+a+b)+1

可见，任何一个合数根都可以表示为"2ab+a+b"，反之，不能表示为"2ab+a+b"的数根，就称为素数根。由此可以得到合数根表。判断一个大奇数属于合数还是素数，只需在合数根表中查找是否存在它的数根就知道了。

折叠合数根表

表中第一行表示a的取值，第一列表示b的取值，其余表示2ab+a+b

2ab+a+b a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6 a=7 a=8 a=9 a=10 … a=n
b=1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 … 1+3n
b=2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 … 2+5n
b=3 10 17 24 31 38 45 52 59 66 73 … 3+7n
b=4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 94 … 4+9n
b=5 16 27 38 49 60 71 82 93 104 115 … 5+11n
b=6 19 32 45 58 71 84 97 110 123 136 … 6+13n
b=7 22 37 52 67 82 97 112 127 142 157 … 7+15n
b=8 25 42 59 76 93 110 127 144 161 178 … 8+17n
b=9 28 47 66 85 104 123 142 161 180 199 … 9+19n
b=10 31 52 73 94 115 136 157 178 199 220 … 10+21n
…… … … … … … … … … … … … ……
b=n 1+3n 2+5n 3+7n 4+9n 5+11n 6+13n 7+15n 8+17n 9+19n 10+21n … n^2+2n

折叠意义

通过研究合数根表，对研究素数的规律会有深远的意义。    

 

 

这道题主要是理解题意，还有几个特判的数1,2,3,5,7,11，

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
	int q;
	int p;
	int i,j;
	int ans;
	int num;
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		scanf("%d",&p);
		num = p / 4;
		ans = p % 4;
		if(ans == 0)
			printf("%d\n",num);
		else if(ans == 1)
		{
			if(num > 1)
				printf("%d\n",num-1);
			else
				printf("-1\n");					
		}
		else if(ans == 2)
		{
			if(num > 0)
				printf("%d\n",num);	
			else
				printf("-1\n");
		}				
		else
		{
			if(num > 2)
				printf("%d\n",num-1);
			else
				printf("-1\n");				
		}							
	}
	return 0;
}

　　

 

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