1. 概述

这篇文章提出了结构系数学习（Structured Sparsity Learning，SSL）的方法去正则网络的结构（filter，channel，filter shape，网络的深度），SSL的特点是：

• 1）从大的DNN网络去学习一个的紧密结构，减少计算花销；
• 2）获得一个硬件友好的DNN稀疏结构去加速网络。在实验中使用SSL方法对AlexNet在CPU与GPU上分别加速了5.1与3.1倍。精度降低大约为1%；
• 3）使用SSL方法之后给网络带来了正则的作用，提升了网络的性能。实验中将20层的ResNet裁剪成为了18层的，同时还提升了网络的精度。

论文地址：Learning Structured Sparsity in Deep Neural Networks
论文代码：Caffe for Sparse and Low-rank Deep Neural Networks
下面这幅图中展示的是AlexNet前面5个卷积层使用L1范数进行non-structurally剪裁的结果，可以看到网络已经很稀疏了（大于95%），但是加速的幅度确实很小的。

在最近提出的低秩近似方法中，首先对DNN进行训练，然后对每个训练的权值张量进行分解，并用较小因子的乘积进行近似。最后，通过finetune来恢复模型的精度。低秩逼近在稠密矩阵中协调模型参数，避免了非结构化稀疏正则化的局部性问题，能够实现实际的加速。然而，低秩近似只能得到各层内部的紧凑结构，并且在微调过程中，各层的结构是固定的，需要花费大量的时间进行分解和微调，才能找到最优的权值近似，从而提高性能和保持精度。

在文章中基于这样的事实：

• 1）在filter与channel上存在冗余；
• 2）过滤器的形状通常固定为长方体，但启用任意形状可以潜在地消除这种固定带来的不必要的计算;
• 3）一般来讲网络越深分类效果越好，但是会存在梯度问题。

对此，这篇文章提出了SSL方法通过在训练中使用group Lasso回归来压缩网络的结构，这里包括了filter、channel、filter的形状与网络的深度。SSL方法将结构正则化（网络的分类精度）与本地最优化（内存访问的计算效率），最后结果并不只是正则化之后提升精度的原始网络，而且还加速了计算过程。

2. Structured Sparsity Learning Method for DNNs

2.1 Structured Sparsity Learning的通用结构

在CNN网络中对于第$l,l\in 1\le l\le L$层的卷积参数为$W^{(l)}\in R^{N_l\ast C_l\ast M_l\ast K_l}$，这写权重的不同维度就可以代表filter、channel和spatial上了，因而得到了网络的空间结构正则化通用优化目标，可以将其表示为：
$$E(W)=E_D(W)+\lambda R(W)+{\lambda }_g\sum _{l=1}^L{R}_g(W^{(l)})$$
其中，$W$代表DNN网络中的权重集合；$E_D(W)$代表对应数据产生的损失；$R(\cdot )$代表在每个权重上使用非结构正则，例如L2范数；$R_g(\cdot )$代表每层上的稀疏正则化。对于权重集合$w$使用group Lasso正则可以表示为$R_g(w)={\sum }_{g=1}^G||w^{(g)}|{|}_g$，$w^{(g)}$代表一个group的部分权重，$G$代表group的总数。不同的group之间可能会存在重叠的。$||\cdot ||$是group Lasso，$||w^{(g)}|{|}_g=\sqrt{{\sum }_{i=1}^{|w^{(g)}|}(w_i^{(g)}{)}^2}$，$|w^{(g)}|$是$w^{(g)}$中权重的个数。

2.2 filters, channels, filter shapes and depth上的稀疏学习

论文中说到的三个层面的wise其图形描述如下所示：

惩罚不重要的filter和channel 这个对应上面图中的第一个部分，在filter层面与channel层面的结构稀疏可以使用下面的目标函数进行优化：

学习任意形状的filter 这个对应上面图中的第二个部分，在优化的过程中一些filter会被置为0，那么就可以使得一些非0的filter变为非方形，那么其优化的目标函数可以表述为：

网络深度正则化 也就是上面的第三个部分了，当一个卷积层中所有的filter都被置为0之后那么这个卷积层就可以被剪除掉了，但是全部置为0就会使得网络无法继续传递下去，在文章中使用了ResNet的结构，使得网络可以跨过一些卷积层，最后再判定那些层是否是需要的，文章中对这一部分的目标函数为：

2.3 Structured sparsity learning for computationally efficient structures

在上面一节中的说到的策略可以用来得到压缩之后的模型，论文在此基础上提出了两种计算规则：

• 1）2D-filter-wise sparsity for convolution 卷积层中的3D卷积可以看做是2D卷积的组合（做卷积的时候spatial和channel是不相交的）。这种结构化稀疏是将该卷积层中的每个2D的filter，$W_{n_l,c_l,:,:}^{(l)}$，看做一个group，做group LASSO。这相当于是上述filter-wise和channel-wise的组合。
• 2)Combination of filter-wise and shape-wise sparsity for GEMM 在Caffe中，3D的权重tensor是reshape成了一个行向量，然后$N$个filter的行向量堆叠在一起，就成了一个2D的矩阵。这个矩阵的每一列对应的是$W_{:,c_l,m_l,k_l}^{(l)}$，称为shape sparsity。两者组合，矩阵的零行和零列可以被抽去，相当于GEMM的矩阵行列数少了，起到了加速的效果。

3. 实验结果

论文分别在MNIST，CIFAR10和ImageNet上做了实验，使用现有的网络作为baseline，以此来使用SSL来压缩网络。论文在LeNet上使用文章中的方法进行压缩得到的结果：

将网络conv1的filter可视化如下。可以看到，对于LeNet2来说，大多数filter都被稀疏掉了。