2 环的定义
环,是一个集合A,加两个运算符
+
×
+\times
+×,并且满足以下三个条件:
1. A和
+
+
+构成阿贝尔群,这里的单位元一般叫0
2. A和
×
\times
×满足结合律,并且存在单位元,这个单位元一般叫1
3.
+
+
+和
×
\times
×满足分配律:
(
x
+
y
)
z
=
x
y
+
x
z
x
(
y
+
z
)
=
x
y
+
x
z
(x+y)z=xy+xz\\ x(y+z)=xy+xz
(x+y)z=xy+xzx(y+z)=xy+xz
第二条,结合律和单位元的条件不是严格条件,李环就没有单位元,并且不满足结合律。
如果乘法满足交换律,那么叫做交换环commutative ring。交换代数这门学科就是专门研究交换环的。然后交换代数又衍生出代数几何、代数数论两门学科。所以环论是多么重要啊。
如果在a不为0的情况下,
a
x
=
b
ax=b
ax=b和
y
a
=
b
ya=b
ya=b有唯一解,那么这就是一个除法环。除法环,也叫斜域skew field。
交换除法环叫域,也就是既是斜域(除法环)又是交换环。
举个例子,整数集合加上算术加法与算术乘法是个交换环。但是不是除法环,所以整数更不可能是域。因为整数中,只有{1,-1}这两个数满足除法,而其他的整数,比如3/2的结果不是个整数。
如果
e
a
=
a
ea=a
ea=a,那么e叫做左元。如果
a
e
=
a
ae=a
ae=a,那么e叫做右元。如果既是左元,又是右元,那么叫做单位元。单位元的集合叫做
U
(
A
)
U(A)
U(A)或
A
∗
A^*
A∗。
环论里的
+
×
+\times
+×不一定是算术乘法,也可以是模乘。举个例子。整数群Z/3Z这个商群,这个商群毫无疑问是由{0,1,2}组成的循环群
C
3
C_3
C3。在这个循环群上进行模加法和模乘,就构成了一个交换环。
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