《统计会犯错——如何避免数据分析中的统计陷阱》—第2章膨胀的真理

本节书摘来自异步社区《统计会犯错——如何避免数据分析中的统计陷阱》一书中的第2章膨胀的真理，作者【美】Alex Reinhart（亚历克斯·莱因哈特）,更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

膨胀的真理
假设相对于安慰剂，Fixitol能将症状减少20%。但你的试验样本可能太小，没有足够的统计功效可靠地检测到这种差异。我们知道，小试验常常产生更具有变异性的结果；你很可能恰恰找到10个幸运的患者，他们的感冒时间都较短，但找到10000个感冒时间都较短的患者的可能性基本上为0。

设想不停地重复以上试验。有时你的患者并不是那样幸运，因此你没有注意到你的药物具有明显的改善作用；有时你的患者恰好具有代表性，他们的症状减少了20%，但你没有足够的数据证明这种减少在统计上是显著的，因此你将其忽略；还有一些时候，你的患者非常幸运，他们的症状减少远超过20%，这时你停下试验说：“看，它是有效的！”你把所有的结果画在了图2-3中，显示了试验结果产生的概率。

图2-3 试验结果产生的概率
（如果你重复进行试验，你将会看到试验结果的一个分布。垂直虚线是在统计上具有显著性的效应值。真正的效应值是20%，但你可以发现观测效应值分布在-10%～50%这样一个较宽区间里。只有少数幸运的试验结果是显著的，但是它们都夸大了效应的大小。）

你得到了正确的结论，即Fixitol是有效的。但因为试验是低功效的，所以你夸大了效果的大小。

以上现象被称为真理膨胀，或者M型错误、赢者灾难。这种现象经常发生，尤其在那些进行类似试验争相发表最激动人心结果的领域经常见到，例如药理学试验、流行病学研究、基因关联研究、心理学研究等。在那些引用最多的医学文献里以上现象也比较常见18,19。在快速发展的领域，比如基因研究，早期论文的结果常常比较极端，这是因为期刊很愿意发表这样新的、令人振奋的结果。相比较而言，后续研究的结果就不那么夸张了20。

就连《自然》和《科学》这样的顶级期刊，也喜欢发表具有开创性理论成果的研究论文。这些开创性成果一般意味着大的效应，往往是在鲜有人研究的、比较新奇的领域里产生的。这是慢性真理膨胀与顶级期刊的完美组合。已有证据表明，期刊影响因子和其发表的“激进”研究具有相关性。那些结论不怎么令人振奋的研究更接近于真理，但是大多数的期刊编辑却对其不感兴趣21,22。

当一项研究声称在小样本下，发现了一个大效应时，你的第一反应不应是：哇哦，他们发现了这么有趣的现象！而应是：他们的研究可能是低功效的23！来看一个例子。从2005年起，Satoshi Kanazawa发表了一系列关于性别比例的论文，最后一篇论文的题目是“漂亮父母会生更多的女儿”。他出版了一本书专门对此进行讨论，书中涉及其他一些他发现的“政治上不正确的真相”。这些研究在当时非常流行，尤其是因为Satoshi Kanazawa所得到的惊人结论：最漂亮父母生女儿的概率是52%，最不漂亮的父母生女儿的概率是44%。

对生物统计学家而言，一个微弱的效应——如一个或两个百分点，具有重要的含义。Trivers–Willard假设认为：如果父母有某些特点，更容易生出女孩，那么他们就会有更多的女孩，反之亦然。如果你认为漂亮的父母更容易生出女孩的话，那么平均而言，这些漂亮父母就会拥有更多的女儿。

但是Kanazawa得到的结论比较特殊，后来他也承认在分析中有些错误。基于他所收集的数据，修正之后的回归分析表明，漂亮父母拥有女儿的概率确实比平均水平高4.7%，但这只是一个点估计，这个差距的置信区间是（−3.9%, 13.3%），0在这个区间内部23。这说明，虽然Kanazawa采用了3000对父母的数据，但结果在统计上仍然是不显著的。

需要大量的数据才能可靠地识别出微小的差异。例如一个0.3%的差异，即使有3000对父母的数据，也不能将0.3%的观测差异与随机误差区分开来。在3000的样本容量下，只有5%的可能性得到在统计上显著的结果，而且这些显著性的结果已经将效应值（0.3%）夸大了至少20倍，并且约有40%的可能得到的显著性结论恰恰相反，即认为漂亮父母更有可能生男孩23。

因此，虽然Kanazawa进行了完美的统计分析，但他仍然高估了真实的效应。按照他的做法，他甚至还可以发表这样的论文：工程师会有更多的男孩，护士会有更多的女孩[3]。他的研究无法识别预想大小的效应。如果他在研究之前进行一个功效分析的话，可能就不会犯这种错误了。

微小的极端
因为小规模、低功效研究的结果变异性很大，所以产生了真理膨胀的问题。有时你非常幸运，得到一个在统计上显著却夸大其辞的估计结果。除了显著性检验分析，在其他分析中，较大的变异性也会带来麻烦。来看一个例子。假如你负责公立学校的改革，作为最优教学方法研究的一部分，你想分析学校规模大小对学生标准化测验分数的影响。小学校是否比大学校更好呢？应该建立为数众多的小学校还是建立若干所大学校？

为了回答以上问题，你整理了表现良好的学校的一个列表。普通学校平均有1000名学生，你发现最好的10所学校学生的数目均少于1000。这似乎意味着，小学校做的最好，原因可能是因为学生少，老师可以深入了解每个学生并有针对性地帮助他们。

然后你又看了一下表现最差的学校，这些学校都是一些拥有成千上万学生、超负荷工作老师的大学校，与你的预想恰恰相反，这些最差的学校也是一些小学校。

为什么？现在，看一下测试分数与学校规模的散点图，如图2-4所示。小学校学生少，所以他们的测试得分有很大的变异性。学生越少，就越难估计出一个学校的真实平均水平，甚至少数几个异常的分数就会使一个学校的平均水平发生大的偏差。当学校的规模变大时，测试分数的波动变小，平均分数有上升趋势24。

来看另外一个例子：在美国，肾癌发生率最低的县往往位于中西部、南部和西部的农村地区。为什么这样？也许是因为农民干农活锻炼了身体，或者是因为他们一直呼吸免受污染的空气，还可能是因为他们生活压力很小。

但是，我们发现那些具有极高肾癌发生率的县也往往位于中西部、南部和西部的农村地区。

为什么这样？这是因为，农村地区的县人口特别少。如果一个县有10个居民，而其中有一位患有肾癌，那么该县的肾癌发生率就是最高的。由于人口特别少，这些县的肾癌发生率具有很大的波动性，其置信区间往往也会很宽25。

应对以上问题的常用方法是压缩估计。对于那些人口很少的县，你可以将他们的癌症发生率与全国水平做一个加权平均，从而使得过高或过低的癌症发生率向全国平均水平收缩。如果一个县的居民特别少，那么在加权平均时应该为全国水平赋一个较大的权重，而如果一个县的居民较多，那就为该县的癌症发生率设定较大的权重。在癌症发生率地图的绘制以及其他一些应用中，压缩估计是一种普遍的做法[4]。不过，压缩估计会不加选择地改变结果：如果一个县的人口较少，但是其癌症发生率确实很高，压缩估计往往会使得最后的估计结果接近全国水平，完全掩盖了这个县的真实情况。

处理以上问题并没有万全之策。最好的做法就是完全回避它：不按照县的划分来估计发生率，而是按照国会选区进行计算，这是因为在美国每个国会选区的人口都大致相当，而且远远多于一个普通县域的人口。不过，国会选区在地图上的形状往往奇形怪状，不如县域那么规则，所以基于国会选区得到的癌症发生率地图，虽然估计比较准确，但却难以解释。

而且，让各个单元都有相同样本大小的做法并不总是奏效。例如，在线购物网站在对商品进行排序时，其依据是顾客的评分，但此时并不能保证参与各种商品评分的顾客数目都是一样的。又如，在像reddit这样的论坛网站上，一般会按照网友的评价对帖子进行排序，但是有的帖子有很多人评价，而有的帖子评论人寥寥可数，这与帖子发布的时间、地点和楼主有很大的关系。压缩估计就可以应对以上情况。购物网站可以将每个产品的评分与总体水平进行加权平均。这样，鲜有人评分的产品默认是平均水平，而有大量顾客评分的产品可以按照它们各自的平均评分进行 排序。

另外，reddit网站上的帖子并没有评分机制，跟帖的人只能表示赞成或反对。为了对帖子进行排序，一般会求得这个帖子支持率的置信区间。当帖子的跟帖很少时，置信区间会很宽，随着跟帖的人越来越多，置信区间就会越来越窄，最后集中到一个确定的值（例如，70%的跟帖喜欢这个帖子）。新帖子的排名往往垫底，但随着跟帖人越来越多，其中质量较高的帖子置信区间变得越来越窄，不久就会上升到前面。并且，由于帖子是依据支持率而不是跟帖数目进行排序的，所以新帖子也完全可以和具有大量跟帖的帖子竞争26,27。

注意事项
在设计试验时，先计算统计功效，以此来决定所需样本的大小。不要跳过这一步。如果你对统计功效不甚了解，可以阅读Cohen’s的经典教材《行为科学的统计功效分析》或者向统计专家进行咨询。如果试验样本大小不切实际，最后结论的可靠性就会大打折扣。
如果你想精确地度量某种效应，请不要单纯地进行显著性检验，更好的做法是设计满足置信度的试验，这样就能以理想的精度度量某种效应。
请铭记“统计上不显著”并非意味着“0”。即使你的结果是不显著的，该结果也代表基于你所收集的数据所得到的估计。“不显著”与“不存在”并不等价。
持质疑态度看待那些低功效研究的结论，这些结论可能夸大真实情况。
请使用置信区间作为最后的答案，不要过分关注统计上的显著性。
当比较规模不同的组时，请计算置信区间。置信区间可以反映估计的精确程度：规模较大的组置信区间较窄，估计更精确。
[1] 如果两个试验组之间具有0.5个标准差大小的差异，Cohen就把这种差异称为中等大小的效应。

[2] 需要注意的是，由于红灯右转带来的交通事故所造成的人员伤亡总数是很少的。红灯右转带来了更多的交通事故，但是从整个美国来看，增加的伤亡人数不超过100人15。尽管如此，因为统计上的错误，红灯右转这项政策每年仍会使数十人丧生。

[3] Kanazawa在2005年的《Journal of Theoretical Biology》上确实发表了这篇文章。

[4] 当然，“压缩估计”不等于简单地加权平均，在统计分析中，有更为复杂的压缩估计方法。

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