引言

上一节介绍了线性回归，并介绍了对 表达自变量$x$与因变量$y$之间关系的拟合方程$f(\mathcal{W})$中参数$\mathcal{W}$ 求解的一种工具——最小二乘法。本节将从 概率密度函数角度 观察最小二乘法。

回顾：符号定义与最小二乘法

已知数据集合$Data$包含$N$个由自变量$x$与因变量$y$组成的样本，并且 各样本之间独立同分布：
$$Data=\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),\cdots ,(x^{(N)},y^{(N)})\}$$
其中，任意一个自变量$x^{(i)}(1=1,2,\cdots ,N)$是一个$p$维随机变量。记作$x^{(i)}\in {\mathbb{R}}^p$：
$$x^{(i)}=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{(i)}\\ x_2^{(i)}\\ ⋮\\ x_p^{(i)}\end{array}\right)$$

因此，关于自变量$x$的集合$\mathcal{X}$可以表示为$N\times p$的矩阵：
$$\mathcal{X}=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(N)}{)}^T=\left(\begin{array}{c}{x^{(1)}}^T\\ {x^{(2)}}^T\\ ⋮\\ {x^{(N)}}^T\end{array}\right)={\left(\begin{array}{c}{x}_1^{(1)},x_2^{(1)},\cdots ,x_p^{(1)}\\ x_1^{(2)},x_2^{(2)},\cdots ,x_p^{(2)}\\ ⋮\\ x_1^{(N)},x_2^{(N)},\cdots ,x_p^{(N)}\end{array}\right)}_{N\times p}$$

对应的因变量$y$的集合$\mathcal{Y}$可表示为$p\times 1$的向量形式：
$$\mathcal{Y}={\left(\begin{array}{c}{y}^{(1)}\\ y^{(2)}\\ ⋮\\ y^{(N)}\end{array}\right)}_{N\times 1}$$

最小二乘法的表达式如下：
$$\mathcal{L}(\mathcal{W})=\sum _{i=1}^N||{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}-y^{(i)}||$$

线性回归任务对于拟合方程$f(\mathcal{W})={\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$的求解思路表示为：求解的模型参数$\mathcal{W}$使得模型任意自变量$x^{(i)}$的判别结果${\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}$与对应因变量$y^{(i)}$之间差距最小$(i=1,2,\cdots ,N)$。基于最小二乘估计方法，上述思路表示如下：
$$\hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\mathcal{L}(\mathcal{W})$$

上一节中求解了$\hat{\mathcal{W}}$的一般式：
$$\hat{\mathcal{W}}=({\mathcal{X}}^T\mathcal{X}{)}^{-1}{\mathcal{X}}^T\mathcal{Y}$$

从概率密度函数角度观察最小二乘法

数据的随机性与噪声定义

继续观察最小二乘法的表达式：
$$\mathcal{L}(\mathcal{W})=\sum _{i=1}^N||{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}-y^{(i)}|{|}^2$$
目标是使$\mathcal{L}(\mathcal{W})$达到最小。那它的下界是多少呢？自然是0——假设存在某个自变量集合 X = { x ( 1 ) , x ( 2 ) , ⋯   , x ( N ) } \mathcal X=\{x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(N)}\} X={x(1),x(2),⋯,x(N)}与其对应的因变量集合 Y = { y ( 1 ) , y ( 2 ) , ⋯   , y ( N ) } \mathcal Y=\{y^{(1)},y^{(2)},\cdots,y^{(N)}\} Y={y(1),y(2),⋯,y(N)}之间属于 线性相关 关系，即任意一个$y^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$均可以使用对应的$x^{(i)}$进行线性表示。即：
$$y^{(i)}={\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}$$
那么，$\mathcal{L}(\mathcal{W})=0$恒成立。但这只是理想状态下的结果。在真实样本中，数据是存在噪声的，没有噪声的数据没有什么实际意义。

如果定义数据的噪声部分为$ϵ$，并假设$ϵ$服从高斯分布。即：
这里定义噪声$ϵ$与因变量$y\in \mathcal{Y}$相同，均是1维随机变量，即标量。
$$ϵ\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$
基于上述理想状态下，因变量$y^{(i)}$与自变量$x^{(i)}$之间的新关系表示如下：
$$y^{(i)}=f(\mathcal{W})+ϵ={\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+ϵ(i=1,2,\cdots ,N)$$
继续观察，由于$ϵ$服从高斯分布，$y^{(i)}$与$x^{(i)}$之间存在线性关系，我们将$y^{(i)}$理解为 高斯分布的随机结果${ϵ}^{(i)}$向上平移了${\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}$个单位$(i=1,2,\cdots ,N)$，只是换了个位置，但它仍然是高斯分布。基于该思路，我们发现：$y^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$也是高斯分布。它服从的概率密度函数表示为：
将高斯分布仅平移至另一个位置，它并没有改变高斯分布影响的范围。因此，它的方差自然不会发生变化。
$$P(y^{(i)}\mid x^{(i)};\mathcal{W})={\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+ϵ\sim \mathcal{N}({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu ,{\sigma }^2)$$

至此，我们得到了一个概率模型$P(y^{(i)}\mid x^{(i)};\mathcal{W})$。使用极大似然估计方法求解概率模型$P$的模型参数$\mathcal{W}$。
定义$L(\mathcal{W})$表示关于模型参数$\mathcal{W}$的$\log$似然函数：
$$L(\mathcal{W})=\log P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X};\mathcal{W})$$
由于数据集合$Data$中各样本之间独立同分布，因此将$L(\mathcal{W})$展开：
$$\begin{array}{rl}L(\mathcal{W})& =\log \prod _{i=1}^{N}P(y^{(i)}\mid x^{(i)};\mathcal{W})\\ & =\sum _{i=1}^N\log P(y^{(i)}\mid x^{(i)};\mathcal{W})\end{array}$$
由于$P(y^{(i)}\mid x^{(i)};\mathcal{W})\sim \mathcal{N}({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu ,{\sigma }^2)$，直接将该高斯分布的概率密度函数表示出来：
$$P(y^{(i)}\mid x^{(i)};\mathcal{W})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2}{2{\sigma }^2}}$$
将概率密度函数带回上式：
$$L(\mathcal{W})=\sum _{i=1}^N\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2}{2{\sigma }^2}}\right)$$
将上式展开，展开结果如下：
$$\begin{array}{rl}L(\mathcal{W})& =\sum _{i=1}^N\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)+\sum _{i=1}^N\log e^{-\frac{{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2}{2{\sigma }^2}}\\ & =\sum _{i=1}^N\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)-\sum _{i=1}^N\frac{{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2}{2{\sigma }^2}\end{array}$$
根据极大似然估计的定义，概率模型$P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X};\mathcal{W})$的最优参数$\hat{\mathcal{W}}$表示为：
$$\hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}L(\mathcal{W})$$
继续观察$L(\mathcal{W})$的展开结果：

• 第一项：${\sum }_{i=1}^N\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)$和$\mathcal{W}$无关，即无论$\mathcal{W}$取何值，均不影响第一项结果的变化；
• 第二项：分母$2{\sigma }^2$也和$\mathcal{W}$无关。

至此，将$\hat{\mathcal{W}}$结果化简如下：
$$\begin{array}{rl}\hat{\mathcal{W}}& =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\left(\sum _{i=1}^N\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)-\sum _{i=1}^N\frac{{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2}{2{\sigma }^2}\right)\\ & =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}-\sum _{i=1}^N{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2\\ & =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^N{\left[y^{(i)}-\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+\mu \right)\right]}^2\end{array}$$

将上述最优模型参数化简结果与最小二乘估计的标准式进行比较，发现：当$\mu =0$时，最小二乘法与极大似然估计法求解最优模型参数的结果$\hat{\mathcal{W}}$相同。这意味着：使用最小二乘法处理的数据集合$Data$内部噪声服从均值为0的高斯分布的假设。

下一节将介绍正则化。

相关参考：
最小二乘法-概率视角-高斯噪声-MLE