§01 数学原理

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1.1 复变函数积分

1.1.1 曲线的方向

  设 $C$ 是平面上的光滑（或者按段光滑）曲线。设曲线有两个端点 $A,B$ ，并规定从 $A$ 到 $B$ 的方向为 $C$ 的正方向，那么从 $B$ 到 $A$ 就是 $C$ 的负方向，记做 $C^{-}$ 。此时 $C,C^{-}$ 称为有向曲线。

  关于 简单闭曲线 的方向，定义为曲线上点 $P$ 顺此方向前进时，曲线内部始终在 $P$ 的左方。

  在下面曲线方向定义中，红色箭头规定了曲线的方向。对于简单闭曲线方向定义也可以看成是绕着逆时针前进的方向。 下图不简单闭曲线方向定义是相反的方向。

▲ 图1.1.1 。 曲线及其方向定义

1.1.2 沿曲线积分

  设函数 $w=f\left(z\right)$ 定义在区域 $D$ 内， $C$ 为区域内起点为 $A$ ，终点为 $B$ 的一条光滑 有向曲线 。把 $C$ 人已分成 $n$ 个弧段，设分点为 $$A=z_0,z_1,z_2,\cdots ,z_{k-1},z_k,\cdots ,z_n=B$$ 每个弧段 $\overline{z_{k-1}{z}_k}\left(k=1,2,\cdots n\right)$ 上任意取一点 ${\zeta }_k$ ，并作和式 $$S_n=\sum _{k=1}^{n}f\left({\zeta }_k\right)\left(z_k-z_{k-1}\right)=\sum _{k=1}^{n}f\left({\zeta }_k\right)\Delta z_k$$ 记 δ = max ⁡ k ∈ [ 1 , n ] { Δ s k } \delta = \mathop {\max }\limits_{k \in \left[ {1,n} \right]} \left\{ {\Delta s_k } \right\} δ=k∈[1,n]max​{Δsk​} 是所有弧段最大长度。当 $n$ 无限增加，且 $\delta \to 0$ ，如果不论对 $C$ 的划分方法以及 ${\zeta }_k$ 的取法如何， $S_n$ 有唯一极限，那么称这个极限为函数 $f\left(z\right)$ 沿曲线 $C$ 的积分，记做 $${\int }_C^{}f\left(z\right)dz=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f\left({\zeta }_k\right)\Delta z_k$$

▲ 图1.1.2 沿曲线积分示意图

  如果 $C$ 为闭曲线，那么沿次曲线的积分记做 $\underset{C}{\oint }f\left(z\right)dz$

  容易看出，当 $C$ 是实轴上位于 $a\le x\le b$ 区间是， $f\left(x\right)=u\left(x\right)$ ，这个定义一是一元实函数定积分定义是相同的。

1.2 积分计算方法和存在条件

1.2.1 计算方法

  设光滑曲线 $C$ 可以由参数方程 $$z=z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right),\alpha \le t\le \beta$$ 描述，正方向为 $t$ 增加方向， $\alpha ,\beta$ 对应于曲线起点 $A$ 和终点 $B$ ，并且 $z^{\prime }\left(t\right)\ne 0,\alpha <t<\beta$ 。

  复变函数 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ 在 $D$ 内处处解析，那么 $${\int }_C^{}f\left(z\right)dz={\int }_C^{}udx-vdy+i{\int }_C^{}vdx+udy={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left[z\left(t\right)\right]z^{\prime }\left(t\right)dt$$

1.2.2 存在条件

• 当 $f\left(z\right)$ 是连续函数， $C$ 是光滑曲线， $\underset{C}{\oint }f\left(z\right)dz$ 是一定存在的；
• 如果 $C$ 是由 $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 等光滑曲线一次相互连接所组成，则定义 ${\int }_C^{}f\left(z\right)dz=\sum _{i=1}^n{\int }_{C_i}^{}f\left(z\right)dz$ 。

1.3 积分的性质

  （1） ${\int }_C^{}f\left(z\right)dz=-{\int }_{C^{-1}}^{}f\left(z\right)dz$

  （2） ${\int }_C^{}kf\left(z\right)dz=k{\int }_C^{}f\left(z\right)dz$ ， （ $k$ 为常数）

  （3） ${\int }_C^{}\left[f\left(z\right)\pm g\left(z\right)\right]dz={\int }_C^{}f\left(z\right)dz\pm {\int }_C^{}g\left(z\right)dz$

  （4） 如果 $C$ 的长度为 $L$ ，函数 $f\left(z\right)$ 在 $C$ 上满足 $\left|f\left(z\right)\right|\le M$ ，那么 $\left|{\int }_{C}f\left(z\right)dz\right|\le {\int }_C\left|f\left(z\right)\right|dz\le ML$

 

§02 应用举例

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2.1 计算沿线积分

2.1.1 计算直线段上的积分

  计算 ${\int }_{C}zdz$ ，其中 $C$ 是从原点到点 $3+4i$ 的直线段。

  求解：直线方程可以写作 $z=3t+i4t,0\le t\le 1$ ，那么 $${\int }_{C}zdz={\int }_0^1\left(3t+i4t\right)d\left(3t+i4t\right)={\left(3+4i\right)}^2{\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2}{\left(3+4i\right)}^2$$

  根据 $${\int }_{C}zdz={\int }_C\left(x+iy\right)d\left(x+iy\right)={\int }_{C}xdx-ydy+i{\int }_{C}ydx+xdy$$ 可以验证，无论沿着从原点到 $3+4i$ 什么路径，上述积分值都是相同的。

▲ 图2.1.1 沿着不同路径积分，结果相同

2.1.2 计算圆周积分

  计算下面复变函数积分，其中曲线 $C$ 是以 $z_0$ 为中心， $r$ 为半径的正向圆周， $n$ 为整数。 $$\underset{C}{\oint }\frac{dz}{{\left(z-z_0\right)}^{n+1}}$$

▲ 图2.1.2 圆周积分

求解： $C$ 的方程可以写作 $$z=z_0+r{e}^{i\theta },0\le \theta \le 2\pi$$ 所以 $$\underset{C}{\oint }\frac{dz}{{\left(z-z_0\right)}^{n+1}}={\int }_0^{2\pi }\frac{ir{e}^{i\theta }d\theta }{r^{n+1}{e}^{\left(n+1\right)i\theta }}={\int }_0^{2\pi }\frac{id\theta }{r^n{e}^{in\theta }}=\frac{i}{r^n}{\int }_0^{2\pi }{e}^{-in\theta }d\theta$$ 当 $n=0$ 时，结果为 $$i{\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi i$$ 当 $n\ne 0$ 时， $$\frac{i}{r^n}{\int }_0^{2\pi }\left(\cos n\theta -i\sin n\theta \right)d\theta =0$$ 所以$$\underset{|z-z_0|-r}{\oint }\frac{dz}{{\left(z-z_0\right)}^{n+1}}=\{\begin{array}{c}2\pi i,n=0\\ 0,n\ne 0\end{array}$$

2.1.3 计算三角边缘积分

  计算下面曲线积分， $$\underset{C}{\oint }\bar{z}dz$$

  其中 $C$ 有两种情况

  （1） 沿着从原点到 $z_0=1+i$ 的直线 $C_1$ ： $z=\left(1+i\right)t,0\le t\le 1$ ；

  （2） 沿着从原点到 $z_1=1$ 的直线段 $C_2$ ： $z=t,0\le t\le 1$ ，在从 $z_1$ 到 $z_0$ 的直线段 $C_3:z=1+it,0\le t\le 1$ 的折线。

▲ 图2.1.3 积分三个路径

  求解：
  （1） $$\underset{C}{\oint }\bar{z}dz={\int }_0^1\left(t-it\right)\left(1+i\right)dt={\int }_0^{1}2tdt=1$$

  （2） $$\underset{C}{\oint }\bar{z}dz=\underset{C_2}{\oint }\bar{z}dz+\underset{C_3}{\oint }\bar{z}dz={\int }_0^{1}tdt+{\int }_0^1\left(1-it\right)idt=1+i$$

注意：在第一题中，对于 $\underset{C}{\oint }zdz$ 从原点到 $3+4i$ 的积分中，无论沿着什么路径积分是一样的。这是与 $f\left(z\right)=z$ 在整个复平面都是解析有关系；而第三题中 $\underset{C}{\oint }\bar{z}dz$ 从原点到 $1+i$ 之间的两个不同路径所得到的积分值不同，这是与 $f\left(z\right)=\bar{z}$ 函数在整个复平面不解析有关系。

2.2 求积分上界

  设 $C$ 为从原点到 $3+4i$ 的直线段，试求下面积分的绝对值的上界。 $$\underset{C}{\oint }\frac{1}{z-i}dz$$

求解： $C$ 的方程为 $z=\left(3+4i\right)t,0\le t\le 1$ ，则 $$\left|\underset{C}{\oint }\frac{1}{z-i}dz\right|\le \underset{C}{\oint }\left|\frac{1}{z-i}\right|ds$$ 在 $C$ 上， $$\left|\frac{1}{z-i}\right|=\frac{1}{\left|3t+\left(4t-1\right)i\right|}=\frac{1}{\sqrt{25{\left(t-\frac{4}{25}\right)}^2+\frac{9}{25}}}\le \frac{5}{3}$$ 所以 $$\left|\underset{C}{\oint }\frac{1}{z-i}dz\right|\le \frac{5}{3}\underset{C}{\oint }ds=\frac{25}{3}$$

 

§03 信号与系统

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3.1 拉普拉斯反变换与z反变换

  在信号与系统中，傅里叶变换，拉普拉斯变换和z变换实际上都是对实变函数的复数进行积分（累加和），计算相对比较简单。

$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$$$$F\left(s\right)={\int }_{0_{-}}^{+\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt$$$$F\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f\left[n\right]z^{-n}$$

  对于Laplace反变换、z反变换则是在复平面上的沿线积分。$$f\left(t\right)={\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F\left(s\right)e^{st}ds$$$$f\left[n\right]=\frac{1}{2\pi j}\underset{C}{\oint }F\left(z\right)z^{n-1}dz$$

  这些积分最终可以使用留数定理帮助完成计算。

3.2 柯西定理与z反变换

  在z反变换公式中，需要应用到柯西定理，即$$\underset{C}{\oint }{z}^{k-1}dz=\{\begin{array}{c}2\pi j,k=0\\ 0,k\ne 0\end{array}$$

  这样$${\oint }_{C}F\left(z\right)z^{n-1}dz={\oint }_C\sum _{m=-\infty }^{+\infty }f\left[m\right]z^{-m}\cdot z^{n-1}dz$$$$=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x\left[m\right]{\oint }_C{z}^{-m}\cdot z^{n-1}dz=2\pi i\cdot x\left[n\right]$$

  在上式推导的最后一步，应用到$$n=m:{\oint }_C{z}^{-}dz=2\pi j$$$$n\ne m:{\oint }_C{z}^{m-n-1}dz=0$$

 

§04 作业练习

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4.1 计算沿线积分

4.1.1 计算z的平方积分

  沿下列路线计算积分 ${\int }_0^{3+i}{z}^{2}dz$ ：

  （1） 自原点到 $3+i$ 的直线段；
  （2） 自原点沿实轴到3，再沿3垂直向上至 $3+i$ ；
  （3） 自原点沿虚轴至 $i$ ，再从 $i$ 沿水平方向往右至 $3+i$ ；

4.1.2 计算积分值

  分别沿 $y=x$ 和 $y=x^2$ 计算积分 ${\int }_0^{1+i}\left(x^2+iy\right)dz$ 。

4.2 计算机数值复数积分

  利用MATLAB，或者Python实现数值复数定积分。

4.2.1 计算z平方积分

  对于前面作业中 $z^2$ 函数沿着从原点到 $3+i$ 的直线段进行定积分。

from headm import *
import quadpy
val,err = quadpy.quad(lambda t: (3*t+1j*t)**2*(3+1j), 0, 1)
printf(val)

(6+8.666666666666666j)

4.2.2 验证不同路径积分

  分别沿着从 $0$ 到 $1+i$ 直线以及而且曲线两条路径计算 ${\oint }_{C}zdz$ 。

▲ 图4.2.1 积分的两条路径

（1）沿着第一条路径

  路径方程 $z=t+it$ ，积分为 $${\oint }_{C_1}zdz={\int }_0^1\left(t+it\right)d\left(t+it\right)={\int }_0^1\left(t+it\right)\left(1+i\right)dt$$

from headm import *
import quadpy
val,err = quadpy.quad(lambda t: (t+1j*t)*(1+1j), 0, 1)
printf(val)

1.0000000000000002j

（2）沿着第二条路径

  路径方程 $z=t+i{t}^2$ ，积分为 $${\oint }_{C}zdz={\int }_0^1\left(t+i{t}^2\right)d\left(t+i{t}^2\right)={\int }_0^1\left(t+i{t}^2\right)\left(1+2it\right)dt$$

from headm import *
import quadpy
val,err = quadpy.quad(lambda t: (t+1j*t*t)*(1+2j*t), 0, 1)
printf(val)

(1.97758476261356e-16+0.9999999999999999j)

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■ 相关文献链接:

• 简单闭曲线

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 。 曲线及其方向定义
• 图1.1.2 沿曲线积分示意图
• 图2.1.1 沿着不同路径积分，结果相同
• 图2.1.2 圆周积分
• 图2.1.3 积分三个路径
• 图4.2.1 积分的两条路径