• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第八次作业

 

01 基础练习

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一、信号调制与解调

1、绘制波形与频谱

（1）第一小题

◎ 解答：

  （1） 对于 $\sin {\Omega }_{m}t$ 信号的频谱为：

  那么该信号经过 $\cos {\omega }_{c}t$ 正弦调幅之后，频谱左右搬移，乘以 0.5。 对应的频谱为：

  利用 ${\omega }_c=3{\Omega }_m$ ，上面表达式可以进一步化简为：

  对于信号 $1+0.8\cos {\Omega }_{m}t$ 的频谱为：

  经过 $\cos {\omega }_{c}t$ 正弦调幅之后， 频谱左右搬移， 乘以 0.5。 对应的频谱为：

  （2）

  选择 ${\Omega }_m=\pi /5$ ， 绘制两个信号的时域波形如下：

▲ 图1.1.1 x1(t)的时域波形

▲ 图1.1.2 x2(t)的时域波形

from headm import *

t = linspace(-10, 10, 10000)
O = 4*pi/20
o = 3*O

x1 = sin(O*t)*cos(o*t)
x2 = (1+0.8*cos(O*t))*cos(o*t)

printff(min(x1), max(x1), min(x2), max(x2))

plt.plot(t, x2, lw=3)

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("x1(t)")
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

  这个题目开始设定 ${\omega }_c=3{\Omega }_m$ ，主要是为了绘制它们的频谱比较方便， 但是信号的波形不太好看。 如果设置 ${\omega }_c=30{\Omega }_m$ ， 两个信号的正弦调制特性就比较明显了。 $x_1\left(t\right)$ 是载波抑制幅度调制， $x_2\left(t\right)$ 是普通幅度调制。

▲ 图1.1.3 当载波等于30倍的基频时，对应的x1调制波形

▲ 图1.1.4 当载波等于30倍的基频时，对应的x2调制波形

  由于 $X_1\left(\omega \right)$ 是纯虚信号， 下面绘制出 $j\cdot X_1\left(\omega \right)$ 对应的图像。

▲ 图1.1.5 X1的频谱

▲ 图1.1.6 X2的频谱

（2）第二小题

◎ 解答：

  下面设置 ${\Omega }_m=\pi /4$ ，绘制出信号的波形如下：

▲ 图1.1.7 x(t)的信号波形

  下面显示了“包络线检波” 示意图， 即把半波检波后的信号顶点连接在一起的曲线。 请注意：这与实际上二极管宝沦陷检波还是很很大区别的。

▲ 图1.1.8 包络线检波后的信号图像

from headm import *

t = linspace(-10, 10, 10000)
O = 5*pi/20
o = 8*O

x2 = (1+1.3*cos(O*t))*cos(o*t)
x2[x2<0]=0

x22 =array([v1-v2 for v1,v2 in zip(x2[:-1], x2[1:])])
x22 = heaviside(x22, 0)
x22 = array([v2-v1 for v1,v2 in zip(x22[:-1], x22[1:])])
iddim = where(x22 > 0.8)[0]

x11 = (1+1.3*cos(O*t))

plt.plot(t[iddim], x2[iddim], lw=3, label='Peak Value')
plt.plot(t, x2, lw=1, label='Upper Half')
plt.plot(t, x11, 'b--', lw=0.5, label='Modulate')

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("x1(t)")
plt.legend(loc='down right')
plt.axis([min(t)-(max(t)-min(t))/20, max(t)+(max(t)-min(t))/20, -2.00, 3.00])
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

2、单边带解调

◎ 证明：

  同步解调是将调制信号与载波信号相乘， 然后再通过低通滤波器获得信号频谱的方法。 对于下边带调制信号， 将其与载波信号相乘， 乘积信号的频谱是调制信号左右搬移之后叠加的频谱。 下图显示， 当下边带信号左右搬移之后， 可以合成信号本身的频谱。 经过低通滤波器滤除高频信号之后， 便可以恢复原调制信号， 信号幅值比原始信号降低了四倍。

▲ 图1.1.9 再调制信号的频谱

  下图显示了同步解调系统各个节点的信号频谱。 输出信号的频谱是最初信号频谱， 只是幅值降低了一半。

▲ 图1.1.10 同步解调单边带调制信号的信号

二、信号调制系统分析

1、第一小题

◎ 求解：

  （1） 当 $e\left(t\right)=\delta \left(t\right)$ ,经过时域乘法之后， 作用在低通滤波器上的输入信号为：

  此时系统的输出就是低通滤波器的单位冲激响应。 根据低通滤波器的频谱特性为：

  对低通滤波器的频谱特性进行傅里叶反变换，便可以得到低通滤波器的单位冲激响应。

  （2） 根据题目给定的输入信号 $x\left(t\right)$ 的表达式， 可以看做对信号 $e\left(t\right)$ 进行幅度调制。

  因为 $\sin \Omega t/\Omega t$ 的频带宽度为 $\Omega$ ， 它的频谱对应的频谱频带宽度为 $2\Omega$ 。 该信号进入系统之后， 实际上是进行同步解调。 此时有两点需要注意：

1. 信号经过同步解调之后，低通滤波器的带宽恰好可以涵盖信号频带宽度， 所以输出信号的频谱可以完整输出。
2. 由于调制信号与解调信号之间有一个 45° 的相位差， 所以输出信号的幅值需要在原来的基础上乘以 $1/\sqrt{2}$ 。

  由此可知，系统输出为：

  （3） 同样， 系统的输入信号可以看做 $\sin \Omega t/\Omega t$ 被 $\sin {\omega }_{c}t$ 信号调制， 由于调制信号与同步解调振荡信号之间相差 90°， 它们之间正交， 因此，系统输出为 0。

  （4） 同步解调系统是一个线性系统； 但由于存在一个时域乘积环节， 该系统属于时变 系统。

2、第二小题

◎ 解答：

  根据系统框图， 输入信号 $x\left(t\right)$ 在与载波信号 $\cos {\omega }_{c}t$ 相加之后，再平方形成带通滤波器的输入信号， 因此带通滤波器的输入信号 $x_1\left(t\right)$ 为：

  其中包含有低频信号 $x^2\left(t\right)$ ， 对应的频带宽度为 $2{\omega }_M$ 。 调幅信号的频谱， 频谱范围在 ${\omega }_c\pm {\omega }_M$ 。 两倍调制信号频谱。 如果系统输出 $y\left(t\right)$ 等于 $x\left(t\right)\cdot \cos {\omega }_{c}t$ ， 则需要带通滤波器能够将低频信号与 两倍频正弦信号滤除。

▲ 图1.2.1 带通滤波器之间信号频谱示意图

  根据上述分析， 则带通滤波器的参数分别满足如下条件：

  为了能够避免调制信号的频谱与信号频谱之间的混叠， 则要求 ${\omega }_c-{\omega }_M>2{\omega }_M$ ，所以 ${\omega }_c>3{\omega }_M$ 。

三、信号采样

1、信号脉冲编码调制

◎ 解答：

  根据信号表达式， 可以知道信号的最大值 不超过 15V， 由于量化电压不超过 10mV， 因此量化区间的个数 M 应该满足：

  量化编码位数 N 对应的量化区间为 $2^N$ 。 所以要求： $2^N\ge 1500$ 。 对应的最小 N 等于 11。

2、信号采样频率

（1）第一小题

◎ 解答：

  由于 $y_1\left(t\right)$ 是 $x_1\left(t\right),x_2\left(t\right)$ 的乘积， 所有它的频谱最大频率等于 $x_1\left(t\right),x_2\left(t\right)$ 频谱最大频率之和， 所以对 $y_1\left(t\right)$ 进行理想采样的的最大采样是时间间隔为：

  由于 $y_2\left(t\right)$ 是 $x_1\left(t\right),x_2\left(t\right)$ 的卷积，因此对应的频谱最大值是 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 的较小的一个。 根据题目中给定的条件， 这个值为 ${\omega }_1$ 。 所以对于 $y_2\left(t\right)$ 进行采样的最大时间间隔为：

（2）第二小题

◎ 解答：

  信号的奈奎斯特频率分别为：

3、信号采样与恢复

（1）第一小题

◎ 解答：

  （1） 对信号 $f\left(t\right)$ 进行傅里叶变换， 利用信号调制定理可得：

  信号的频谱如下图所示：

▲ 图1.3.1 f(t)信号频谱示意图

  （2） 信号经过 $f_s=140Hz$ 采样之后， 对应的频谱周期延拓， 形成的频谱如下图所示：

▲ 图1.3.2 采样之后对应的信号频谱示意图

  （3） 为了从采样信号中恢复信号 $f\left(t\right)$ ， 理想低通滤波器的带宽需要满足： $116\pi <{\omega }_L<164\pi$ 。

  （4） 信号的奈奎斯特频率为116Hz。

（2）第二小题

◎ 解答：

  （1） 根据 $f_1\left(t\right),f_2\left(t\right)$ 的表达式， 可以知道它们的频谱是矩形频谱， 最大频率分别是： $F_{1m}=1000\pi ,F_{2m}=2000\pi$ 。

▲ 图1.3.3 f1(t),f2(t)的频谱示意图

  根据系统框图可知 $f\left(t\right)=f_1\left(t\right)\cdot f_2\left(t\right)$ ，所以 $f\left(t\right)$ 对应的频谱最大频率等于 $f_1\left(t\right),f_2\left(t\right)$ 最高频率之和：

  因此，对于该信号最大抽样间隔为：

  （2）

  下面先绘制出 $f\left(t\right)$ 的频谱。

▲ 图1.3.4 f(t)的频谱示意图

  经过采样之后， $T_s=1/3000$ 采样之后， 采样信号 $f_s\left(t\right)$ 的频谱为：

▲ 图1.3.5 fs(t)的频谱示意图

（3）第三小题

  （1） $x\left(3t\right)$ 对应的奈奎斯特采样周期为： $\pi /24$ ； $x\left(t/4\right)$ 对应的采样周期为： $\pi /2$ 。

  （2） 根据 ${\delta }_T\left(t\right)$ 的表达式， 可以知道对应的采样间隔为 $\pi /12$ ，采样角频率为 $24$ 。所以 $x_s\left(t\right),x_s\left(3t\right),x_s\left(t/3\right)$ 的频谱分别是原信号频谱按照周期 24 进行周期延拓， 对应的频谱为：

  下图是 $x_s\left(t\right)$ 的频谱示意图：

▲ 图1.3.6 xs(t)的频谱示意图

  信号频谱没有发生混叠。

  如下是 $x_s\left(3t\right)$ 对应的频谱示意图：

▲ 图1.3.7 xs(3t) 对应的频谱示意图

  信号频谱发生了混叠。

  下图是 $x_s\left(t/3\right)$ 的频谱示意图：

▲ 图1.3.8 xs(t/3) 对应的频谱示意图

  信号频谱没有发生混叠。

4、平顶采样

◎ 解答：

  （1） 使用周期三角脉冲信号 $f\left(t\right)$ 对于 $g\left(t\right)$ 进行平顶采样，得到 $g_s\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }g\left(n{T}_s\right)f_0\left(t-n{T}_s\right)$ ，可以表示成：

  其中 $f_0\left(t\right)$ 是周期三角脉冲信号的一个周期内的信号。 对于 $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }g\left(n{T}_s\right)\cdot \delta \left(t-n{T}_s\right)$ 的频谱是 $g\left(t\right)$ 频谱的周期延拓：

$f_0\left(t\right)$ 的频谱 $F_0\left(\omega \right)$ 为：

  所以 $g_s\left(t\right)$ 的频谱为：

  可以看到 $G_s\left(\omega \right)$ 对应的频谱波形是将 $G\left(\omega \right)$ 周期延拓制后， 再乘以 $S{a}^2\left(\frac{\omega \tau }{4}\right)$ 。 对应的频谱波形如下：

▲ 图1.3.9 被采样后gs(t)的频谱示意图

  上面频谱波形绘制过程中，对应的参数分别为： ${\omega }_m=1,\tau =\pi /2$ ，利用 Python 绘制出的频谱波形图。 未来能够显示出频谱波形的特点， 频谱水平方向压缩了。

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2023-04-18
#
# Note:
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from headm import *


o = linspace(-15,15,100000)
om = 1
tao = pi/om/2
ts = 2*pi/om/2

Gs = 1-arccos(cos(o*2*pi/2/om))/pi
Ts = pi*tao/ts*sinc(o*tao/4/pi)**2

G = Ts*Gs

plt.plot(o, G, lw=3, label='Gs(o)')
plt.plot(o, Ts, lw=1, label='Period G')
plt.plot(o, Gs, lw=1, label='F0(o)')

plt.xlabel("Frequency(rad/s)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.legend(loc='upper right')
plt.axis([min(o)-(max(o)-min(o))/20, max(o)+(max(o)-min(o))/20, -1.00, 2.50])
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

  （2） 根据 $g_s\left(t\right)$ 频谱的表达式， 可以看到如果需要恢复出 $g\left(t\right)$ 的频谱， 需要将 $g_s\left(t\right)$ 通过如下频率特性的低通滤波器。 截取其中 $\pm {\omega }_m$ 之间的频谱， 并除以 $\frac{\pi \tau }{T_s}\cdot S{a}^2\frac{\omega \tau }{4}$ 。

四、有限带宽信号的采样

◎ 解答：

  如果希望从采样数据中无损恢复信号 $f\left(t\right)$ ， 充分必要条件是在信号的频谱周期延拓之后， 信号频谱没有发生“混淆” 现象。

  为了保证信号能够恢复， 此时要求周期延拓之后的信号频谱不能够相互混叠。取 $m=\mathrm{int}\left(N\right)$ 为 小于 N的最大整数。 将 $\pm {\omega }_2$ 之间的频谱范围分成了 2m 份。

  按照 $2{\omega }_2/m$ 对应的频率进行采样， 原来的频谱按照 $2{\omega }_2/m$ 的周期左右延拓。此时，对应的延拓之后的频谱就会相互交错而不会混叠。 下面的示意图对此进行了描述。 红色和蓝色分别表示原来左右两个频谱延拓后所在的位置， 可以看到它们之间恰好相互交错，并不重叠。

▲ 图1.4.1 周期延拓之后的频谱

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第八次作业

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 x1(t)的时域波形
• 图1.1.2 x2(t)的时域波形
• 图1.1.3 当载波等于30倍的基频时，对应的x1调制波形
• 图1.1.4 当载波等于30倍的基频时，对应的x2调制波形
• 图1.1.5 X1的频谱
• 图1.1.6 X2的频谱
• 图1.1.7 x(t)的信号波形
• 图1.1.8 包络线检波后的信号图像
• 图1.1.9 再调制信号的频谱
• 图1.1.10 同步解调单边带调制信号的信号
• 图1.2.1 带通滤波器之间信号频谱示意图
• 图1.3.1 信号的频谱示意图
• 图1.3.2 采样之后对应的信号频谱示意图
• 图1.3.3 f1(t),f2(t)的频谱示意图
• 图1.3.4 f(t)的频谱示意图
• 图1.3.5 fs(t)的频谱示意图
• 图1.3.6 xs(t)的频谱示意图
• 图1.3.7 xs(3t)对应的频谱示意图
• 图1.3.8 xs(t/3)对应的频谱示意图
• 图1.3.9 被采样后gs(t)的频谱示意图
• 图1.4.1 周期延拓之后的频谱