• 信号与系统2022春季学期第六次作业
• 信号与系统2022春季学期第七次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第七次作业

 

01 基础练习

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一、傅里叶变换性质

1、傅里叶变换

  请使用傅里叶变换的性质求解下面信号的频谱。如果信号中包括有 $f\left(t\right)$ ， 则它对应的傅里叶变换为 $F\left(\omega \right)$ 。

（1）必做题

  （1） 双三角形信号

  请分别应用傅里叶变换的微分性质、卷积性质 两种方法求取下面梯形信号的傅里叶变换。

▲ 图1.1.1 双三角形脉冲信号

  （2）

  提示： 需要应用到 频域微分特性。

  （3）

  提示：需要应用到时域微分和频域积分特性。

  （4） 调制高斯信号

  请使用傅里叶变换频移特性 求解调制高斯信号的频谱。

▲ 图1.1.2 调制高斯信号

  提示： 关于高斯信号的傅里叶变换可以参照下面给出的公式。

▲ 图1.1.3 高斯信号的傅里叶变换

  （5）

（2）选做题

  （6）

  请使用傅里叶变换的微分特性求取下面锯齿脉冲信号的频谱。

▲ 图1.1.4 锯齿脉冲信号

  （7）

  请使用傅里叶变换的频移特性求下面单个正弦脉冲信号的频谱。

▲ 图1.1.5 单个正弦脉冲信号

  （8）

  （9）

2、傅里叶反变换

（1）必做题

  （1） 已知信号的频谱如下， 求 $f\left(t\right)$ 。

  提示： 利用频域微分定理， 并结合

（2）选做题

  （2）

  提示：参见前面第一题的 第 （9） 小题的答案。

  （3）

  求解下面“信号平方频谱” 对于的时域信号 $f\left(t\right)$ 的表达式。

\

3、信号平方的频谱

  已知信号 $f\left(t\right)$ 的频谱为：

  如下图所示：

▲ 图1.1.6 信号的频谱

  请绘制出 $f^2\left(t\right)$ 的 频谱图。

  提示： 这个题目需要应用到 FT 的频域卷积定理， $f^2\left(t\right)$ 的频谱实际上是它自己的频谱与自己卷积， 再考虑前面还有 $2\pi$ 的因子。

二、周期信号的频谱

  已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换，求下图所示的周期梯形信号和周期全波信号的傅里叶变化。

1、必做题

  （1） 全波整流周期信号

  单个半波余弦脉冲信号的傅里叶变换为：

▲ 图1.2.1 全波整流信号波形

  提示： 将单个周期信号的傅里叶变换进行“离散化”。

  （2） 周期信号与三角波信号乘积

  求下面信号的频谱。 该信号是周期为 $\tau$ ， 幅度为 ±1 的三角波信号， 与宽度为 ${\tau }_1$ ， 高度为 1 的对称三角脉冲信号相乘。

▲ 图1.2.2 调制在三角波上的三角波信号

  提示： 关于等腰三角形脉冲信号的频谱可以查询课件中给出的答案。 使用傅里叶变换时域乘积对应频域卷积定理。

2、选做题

  单个梯形信号的傅里叶变换：

▲ 图1.2.3 周期梯形信号

  提示： 将单个周期信号的傅里叶变换进行“离散化”。

三、证明题

1、必做题

  已知信号 $f\left(t\right)$ 的“希尔伯特变换” 的表达式为：

  定义信号 $f\left(t\right)$ 的解析信号 为：

  试证明：

  其中： $F\left(\omega \right),Z\left(\omega \right)$ 分别是 $f\left(t\right),z\left(t\right)$ 的傅里叶变换。 $u\left(\omega \right)$ 是关于 $\omega$ 的单位阶跃函数。

 

02 实验作业

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一、观察信号频谱变化

1、作业要求

  在网络学堂下载一段音乐及其经过处理后的音乐数据文件，聆听相应的音频效果。

  使用MATLAB中使用spectrogram 命令观察音乐及其变换后的数据是时频联合分布， 总结节奏变化一是尺度变化两种操作在听觉和信号时频联合分布之间的差别。

2、作业相关文件说明

  音乐数据文件与作业要求文档合并在一起，HMW7-DATA.ZIP文件。

HMW7-DATA中的文件说明：_
1.mp3       :原始音乐，MP3格式
1.wav       :原始音乐，WAV格式
1fast.wav   :加快节奏50%文件
1fast2.wav  :加快节奏100%文件
1fastrate.wav:尺度减少50%文件；
1fastrate2.wav：尺度减小75%文件
1slow.wav   ：减慢节奏50%文件；
1slow2.wav  ：减慢节奏100%文件
1slowrate.wav：尺度拉伸50%文件
1slowrate2.wav：尺度拉伸100%文件

soundstretch.exe：处理程序

3、MATLAB相关命令

>> [mdata, fs] = audioread('d:\'temp\'1.wav');'
>> spectrogram(mdata(1:fs*2,1), 2048, 1024, 2048, fs, 'yaxis')

附录：

本次作业中部分图形绘制程序：

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2023-04-06
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
t = linspace(-5, 5, 10000)
def G(t, startn, endn):
    return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
def Gt(t, center, width):
    startn = center-width/2
    endn = startn + width
    return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
#ft = (t+2)*G(t,-2,-1) - t*G(t,-1,0) + t*G(t,0,1) - (t-2)*G(t,1,2)
#ft = (-t) * G(t, -2, 2) / 3
#ft = -sin(t*pi/2)*G(t,-2,2)
#ft = G(t,-4,-2) + G(t, 2,4)
#ft = abs(cos(t*1.25*2*pi/4))
#ft = pi-arccos(cos(t*3.8/2))
#ft[ft>1]=1
ft = 1-arccos(cos(t*10))/pi*2
f2 = (1-arccos(cos(t))/pi) * G(t,-pi, pi)
f3 = ft*f2
plt.plot(t, f3, lw=3)
plt.plot(t, f2, 'r--', lw=0.5)
plt.plot(t, ft, 'b--', lw=0.5)
#plt.arrow(0, 0.0, 0.0, 1.5, shape="full", lw=2, length_includes_head=True, head_width=0.1)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.grid(False)
plt.axis([min(t)-0.5, max(t)+0.5, -1.5, 1.5])
plt.tight_layout()
plt.show()
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统2022春季学期第六次作业
• 信号与系统2022春季学期第七次作业

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 双三角形脉冲信号
• 图1.1.2 调制高斯信号
• 图1.1.3 高斯信号的傅里叶变换
• 图1.1.4 锯齿脉冲信号
• 图1.1.5 单个正弦脉冲信号
• 图1.1.6 信号的频谱
• 图1.2.1 全波整流信号波形
• 图1.2.2 调制在三角波上的三角波信号
• 图1.2.3 周期梯形信号