• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第三次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第三次作业

01 差分方程

一、题目简介

在第三次作业中最后一道选择题应该是出题人特别不厚道， 给一个二阶离散时间系统输入单位阶跃序列， 得到对应的输出序列， 假定系统为零状态，也就是说 y[n] 是系统的单位阶跃序列， 要求确定系统的二阶差分方程。 在此基础上， 当输入信号为一个长度为 10 的矩形序列， 求此时系统的输出 y[n]。 这个题目本质是根据系统的输入输出求解系统差分方程， 是系统分析的逆问题， 也称为系统辨识。

之所以称这个题目不厚道， 是因为到现在为止， 我们手中的工具还不多， 解决系统分析的手段还不够老辣。 如果给定了系统方程，我们可以进行求解 和分析。 在给定系统单位冲激响应的情况下，可以使用卷积完成系统输出的计算。 对于离散时间因果序列，我们还可以通过解卷积完成系统的单位冲激响应的计算。 这些工具可以帮助我们获得系统的单位冲激响应。 但是，从系统的单位冲激响应信号， 如何获得系统方程， 此时我们还没有准备好相应的工具。 这样就会使求解变得比较困难了。 在给定的参考答案中， 实际上是利用了 z 变换的方法帮助求解。

二、z变换

为了简化本题的求解，下面就把第五章才讲到的 z 变换这个武器提前拿出来。 这里仅仅把需要用到的 z 变换的两个工具进行介绍。 利用 z 变换，可以将一个序列与对应的复变函数联系起来。  具体方法暂且不表。 对于一个差分方程，这里以一个标准的二阶 后向差分方程为例， 通过 z 变换可以转换成一个代数方程。 这一点与算子法的作用很像。 这样方程的输入输出之间的比值就形成一个有理分式。  通常将这个比值称为差分方程对应的离散时间系统的系统函数。 有理分式的分子分母也可以整理成关于 z 的降幂次多项式。 大家可以看到系统函数对应的有理分式与差分方程结构之间的关系。 这是我们第一个工具。 第二个工具，就是一个线性时不变的离散时间系统，它的单位冲激响应序列，与刚才提到的系统函数之间是一对 z 变换关系。 这是我们第二个工具。 下面基于这两个工具， 对于作业题目进行分析。

三、问题求解

题目中，给定的二阶差分系统输入信号为单位阶跃序列， 在它的作用下， 系统的零状态输出便是单位阶跃响应。 将单位阶跃响应进行后向差分，便得到系统的单位冲击响应。 下面将 y[n] 的表达式进行差分，  对其进行化简，   便可以得到对应的单位阶跃响应。 这是利用了系统线性 时不变特性。  下面就需要应用到刚才 z 变换的第二个工具了， 将 h[n] 进行 z 变换，便可以得到系统函数。 这是 delta n 对应的 z 变换， 两个指数序列对应的 z 变换， 延迟对应 z 分之一。  这个结果便是差分方程对应的二阶系统的系统函数。 对它进行化简，得到一个有理分式。 这是描述二阶离散时间系统的系统函数。

  在求系统函数过程中， 应用了 z 变换的第二个工具， 下面再利用第一个工具， 将系统函数 变成对应的差分方程， 根据前面求出的系统函数表达式。 写出对应的二阶差分方程。 这是问题的最终答案。 

四、第二小问

这道题目还有第二小问， 求矩形脉冲作用下系统的输出。 实际上，第二小问的求解不需要依赖系统差分方程， 只需要根据系统的线性 时不变 特性即可。  由于知道 u[n] 作用下的输出， 对于 u[n-10]  对应的输出是将 u[n] 的输出延迟 10 即可。 最后根据系统的线性， 将上述两个结果叠加在一起， 再乘以 2，  便可以得到最终的结果了。   这是第二小问对应的结果。 

※ 总  结 ※

本文介绍了第三次作业选做题， 根据系统的输入输出求解系统对应的差分方程。 利用了 z 变换简化了求解过程。

■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第三次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第三次作业

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 题目要求
• 图1.2.1 z 变换两个工具
• 图1.3.1 求解系统函数