• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第三次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第三次作业

01 差分方程

一、题目内容

  在第三次作业中有一道选做题， 根据系统输入信号， 以及对应的输出信号， 求该离散时间系统对应的二阶差分方程。 第二问是将信号修改成一个窗口序列， 求解对应的系统输出。 实际上第二问的求解， 只需要应用系统的线性 时不变 特性即可。 将已知的 u[n] 对应的系统输出， 延迟 10 个单位时间， 然后将它们叠加在一起便可以得到第二小问的解答。 下面仅仅对第一小问进行分析。

二、系统差分方程

  我们再看一下题目给定的条件。 这里的系统类型， 应该是暗含为线性时不变系统。 在 u[n] 的作用下， 系统零状态输出为单位阶跃响应。 如果对其进行差分，可以得到对应的单位冲激响应。 在单位阶跃序列的作用下， 输出中前两项应该是系统的自由响应，对应的齐次解， 后一项，常量，10， 对应着系统的强迫响应。 对于二阶常系数差分方程， 齐次解对应的指数是它的两个特征根。  这样可以写出对应的特征方程， 由特征方程， 可以写出微分方程的齐次方程。  那么该方程还缺少输入变量的差分多项式，  在这里给出输入信号差分多项式的一般形式。 下面求解其中三个待定系数,a b c。


  根据题目已知输入输出，  分别计算出 y[n],x[n] 序列的值。  然后分别讨论 n 取 0 1 2 的时候， 可以的得到关于待定系数 a b c 的方程。 在 n 等于 0 时， 将 y[n],x[n] 的值代入方程， 经过化简， 便可以得到关于 a 的方程， 求解之后得到 a 等于 14。 同样，对于 n 等于 1 时， 写出对应的方程， 求解该方程， 得到参数 b 的取值。 b 等于 负的 85。 按照同样的思路， 继续列写 n 等于 2 的情况， 根据已知的 a b 的取值， 可以求解出参数 c， 等于 111。 这样，二阶差分方程中的三个待定系数， 都确定下来了。  最终得到了描述系统的二阶差分方程。 这个结果与通过 z 变换方法所得到的结果是一致的。


 

※ 总  结 ※

  本文就第三次作业中求解系统差分方程的习题进行了讨论。  通过直接求解便得到最终的结果。

■ 相关文献链接:

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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 习题要求
• 图2.1 系统差分方程