• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第四次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第四次作业

 

01 系统特性分析

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一、作业内容

  在第四次作业中有一个关于系统分析的习题。 第一个小题是根据系统的单位样值响应序列判断系统的因果性以及稳定性。 第二题是根据给定的系统框图求解系统的单位冲激响应 h(t)。 第三题则给出了系统输入输出之间的积分方程， 确定系统的单位冲激响应，并求出给定的方波信号对应的系统响应。 下面我们依次分析一下这三个小题的求解过程。

▲ 图1.1.1 系统内容

二、第一小题

  首先让我们看看第一小题， 在给定的系统单位冲激响应序列情况下， 判断该离散时间系统的因果性和稳定性。 系统的单位冲激响应序列与系统特性的关系，在这种表格中给出了总结。 系统的因果性与单位冲激响应信号的因果性是对应的。 也就是当单位冲激响应信号为因果信号时， 即当信号的自变量小于 0 时， 信号取值为 0， 此时系统为因果信号。 系统的稳定性的充分必要条件是单位冲激响应信号是否满足绝对可和， 即绝对值的累加小于无穷大。 根据这些条件， 对于系统中各个系统判断就比较方便了。  下面我们进行逐一分析一下。 

▲ 图1.2.1 第一小题内容
  第一个系统对应的单位冲激响应序列为 delta n 减 5， 实际上是一个纯延迟系统。 delta 5 是一个因果信号，而且绝对可和， 所以系统为 因果系统和稳定系统。 第二个系统的单位冲激响应序列为 n 分之一， 这是一个因果序列， 所以系统是因果系统。 但它的累加和对应着调和序列的极限， 是无穷大。 所以系统是不稳定系统。 第三个系统的单位冲激响应序列为右边指数衰减序列， 比较容易判断该系统是因果系统，稳定系统。 第四个系统是左边指数序列。 这是一个反因果序列，系统为非因果系统。 当 n 趋向于 负无穷时， 序列是指数衰减序列， 所以绝对可和， 系统为稳定系统。 第五个系统是一个双边震荡序列，  对应的系统为非因果系统， 系统是不稳定的。 最后一个系统单位冲激响应序列为 delta n 加 4， 系统是非因果系统， 系统是稳定的。  这是第一小题中六个系统的因果性和稳定性的判断。

▲ 图1.2.2 系统特性判断

三、第二小题

  第二小题是给定了系统框图，求系统的单位冲激响应信号。 系统包括有积分、延迟等环节。 根据 LTI 系统特性， 其中子系统满足交换律、结合律和分配律。   将第一个积分移动到系统中间， 此时整个系统就变成两个结构相同的子系统的串联了。 当输入 delta t 信号后，  第一个累加器的输出是 delta t 与 delta t 减 大T，  再经过积分，  对应的输出就变成了 u(t) 减去 u t 减 大T， 这是一个矩形窗口信号， 宽度为 T， 高度为 1。 由于第二个子系统与前面子系统是相同的， 所以它的单位冲激响应也是同样的矩形脉冲信号。 整个系统的单位冲激响应信号便可以通过 r1 t 与 r1 t 的卷积获得。   将举行信号与它自己进行卷积，  根据卷积运算特点，我们可以判断出结果是一个等腰三角形信号。   信号的宽度为 2T，高度为 T， 这就是第二小题对应系统的单位冲激响应。   由此可以看出，灵活应用 LTI 系统中子系统的交换可以简化系统的分析。

▲ 图1.3.1 系统单位冲激响应分析过程

四、第三小题

  第三小题是一个选做题， 根据给定的系统输入输出之间的积分运算， 求系统的单位冲激响应信号。  可以直接根据定义求解 h(t)。 将其中的 x(t) 修改成 delta t。 可以看到这个积分实际上是 e 的 负 t 次方 与 delta t 减 2 的卷积。 这实际上相当于将 前面指数信号进行延迟 2 个单位。 这里给出了 h(t) 的表达式和对应的波形。  第二小问是给定另外 x(t) 的波形，求系统的输出。 这实际上是计算 x(t) h(t) 之间的卷积结果。  还是利用图解方法简化求解过程， 根据卷积函数的特点， 将卷积过程分成三个时间阶段。  这里就直接给出了每个阶段卷积的结果。 详细推导过程请大家自行计算。 这是最终卷积结果的波形。

▲ 图1.4.1 系统输出

 

※ 总  结 ※

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  本文给出了第四次作业系统分析习题的讨论，  具体求解过程可以参见CSDN上的相关博文内容。

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第四次作业
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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 系统内容
• 图1.2.1 第一小题内容
• 图1.2.2 系统特性判断
• 图1.3.1 系统单位冲激响应分析过程
• 图1.4.1 系统输出