欧拉公式

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欧拉公式（英语：Euler’s formula，又称尤拉公式）是在复分析领域的公式，将三角函数与复数指数函数相关联，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。尤拉公式提出，对任意实数 xx，都存在: 

ejx=cosx+jsinxejx=cos⁡x+jsin⁡x

其中jj是虚数单位。

由上式，我们可以推导出： 

sinϕ=12j(ejϕ−e−jϕ)sin⁡ϕ=12j(ejϕ−e−jϕ)

cosϕ=12(ejϕ+e−jϕ)cos⁡ϕ=12(ejϕ+e−jϕ)

证明：

有许多方式可以证明欧拉公式，这里仅用泰勒级数进行证明，其他方式可以参考Wiki欧拉公式 

在知乎上看到了Heinrich写的一篇关于傅里叶变换的文章，让我茅塞顿开，惊叹数学的美丽和神奇，文章中介绍了复数的意义，我觉得讲的很好，故记录下来：

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢? 
 
这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。