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考研竞赛每日一练 day 29 利用泰勒公式解决级数收敛性证明问题

问题 解决 利用 每日 竞赛 公式 29 证明
2023-06-13 09:13:16 时间

利用泰勒公式解决级数收敛性证明问题

判别级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\dfrac{1}{n}})(a > 0)

的收敛性

解析：利用泰勒公式，

e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)
(1+x)^a=1+ax+\dfrac{1}{2}a(a-1)x^2+o(x^2)

，则

\sqrt[n]{a}=e^{\dfrac{1}{n}\ln a}=1+\dfrac{1}{n}\ln a+\dfrac{1}{2n^2}\ln^2 a+o(\dfrac{1}{n^2})

，

\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}=1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})

，所以级数通项等价为

a_{n}=(\ln a-\dfrac{1}{2})\dfrac{1}{n}+(\dfrac{1}{2}\ln^2a+\dfrac{1}{8})\dfrac{1}{n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})

当

\ln a-\dfrac{1}{2}\neq 0

时，即

a\neq e

时，

a_{n}

等价于

(\ln a-\dfrac{1}{2})\dfrac{1}{n}

，故原级数发散；

当

\ln a-\dfrac{1}{2}=0

时，即

a=e

时，

a_{n}

等价于

\dfrac{1}{4n^2}

，原级数收敛。

作者：小熊

写作日期：2021-11-09

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