高等数值计算方法学习笔记第4章第二部分【数值积分(数值微分)】
高等数值计算方法学习笔记第4章第二部分【数值积分(数值微分)】
四、龙贝格求积公式(第三次课)
1.梯形法的递推化 (变步长求积法)
课堂推导:(在考试范围之内!)
收敛太慢。
2.龙贝格算法
如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。Richardson外推extrapolation。
S是辛普森公式,T是梯形公式。
Romberg龙贝格
推导细节在后面。
近似程度更好的原因是只考虑截断误差,不考虑舍入误差。二者的区别
假设导数相等,公式推导不难。
下面是计算次序。
下面还是比较重要的。
就是π
利用公式
∣
I
−
T
m
(
k
)
∣
<
∣
T
m
(
k
)
−
T
m
(
k
−
1
)
∣
/
(
4
m
−
1
)
|I-T_m^{(k)}|<|T_m^{(k)}-T_m^{(k-1)}|/(4^m-1)
∣I−Tm(k)∣<∣Tm(k)−Tm(k−1)∣/(4m−1)
五、高斯求积公式
1.一般理论(1定义1例题)
2n+1是代数精度,n是Ak的个数。
依据上面的公式带入即可。
这个注不用管。
2.构造高斯求积公式方法(二)【定理加证明】
先确定了节点 xk ,后利用方程组求解系数Ak 。
此证明是考试的最高难度!
充分性和必要性
这里Hn是次数不超过n次的多项式集合。看书52页
5、Gauss型求积公式
5.1Gauss型求积公式的一般理论【2定理1例题】
去掉了x0
书31页公式3.5:
和书61页:
??这个内积是怎么变为积分的。看第3章【逼近与拟合】的3.内积与内积空间
此处 ρ ( x ) = x 2 \rho (x)=x^2 ρ(x)=x2
l(x)是拉格朗日的基函数。
5.2多种Gauss型求积公式
与书122页的略有不同。不同的是n。书上从0开始,
这里换元改变的积分上下界。 求积公式和误差都变了,Simpson细节可以看上节第4章第一部分【数值积分(数值微分)】
ti对应xi回到区间0-1.,只要积分区间是[-1,1]就行
Simpson的结果是什么?
书上第n=5有一行有问题。0.1039919745改为:0.0103991975
书124页。125页例题12重要。
知识结构图(需要注意有例题的部分)
最后的作业:
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